Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?

Gọi C là giao điểm của AD và BE.

Tam giác ABC có:

      $\angle$A = ${60}^0$ (vì ΔADM đều)

       $\angle$B = ${60}^0$ ( vì ΔBEM đều)

Nên $\angle$C = ${180}^0$ - $\angle$A - $\angle$B = ${60}^0$

Suy ra: $∆$ABC đều hay AB = AC = BC

Suy ra điểm C cố định.

Lại có: $\angle$A = $\angle$(EMB ) = ${60}^0$

ME // AC ( vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Hay ME // CD.

Do $\angle$DMA = $\angle$BEM = ${60}^0$ ( hai tam giác AMD và BME là tam giác đều )

Suy ra: MD // BC ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau ).

hay MD // EC

suy ra tứ giác CDME là hình bình hành.

I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của CM

Kẻ CH ⊥ AB,IK ⊥ AB⇒IK // CH

Trong $∆$CHM,ta có:CI = IM và IK // CH

Suy ra IK là đường trung bình của ΔCHM⇒IK = 1/2 CH

Vì C cố định nên CH không đổi ⇒ IK = 1/2 CH không đổi nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng 1/2 CH

Khi M trùng với A thì I trùng với trung điểm P của AC.

Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm Q của BC.

Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì I chuyển động trên đoạn PQ ( P là trung điểm AC, Q là trung điểm BC).