Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi

b) Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a).

Gọi $d_1$ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 0,5 thì phương trình của $d_1$ là $x = \sqrt{2}$. Giả sử d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc ${45}^o$. Lấy $M(\sqrt{2};0)$ thuộc $d_1$ thì ảnh của nó qua phép quay tâm O góc ${45}^o$ là M′(1;1) thuộc d'. Vì OM ⊥ $d_1$ nên OM′ ⊥ d′. Vậy d' là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với OM'. Do đó nó có phương trình x + y – 2 = 0.

Dễ thấy bán kính của (C') = 4. Tâm I của (C') là ảnh của tâm I(1;2) của (C) qua phép đồng dạng nói trên. Qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 , I biến thành $I_1(-2; -4)$. Qua phép đối xứng qua trục Ox, $I_1$ biến thành I′(−2;4).

Từ đó suy ra phương trình của (C') là ${\left(x + 2\right)}^2 + {\left(y - 4\right)}^2 = 16.$