Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho

$\frac{AM}{AC} =\frac{BN}{BD} = k (k>0)$

Chứng minh rằng ba vectơ $\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PM}, \overrightarrow{PN}$ đồng phẳng.

Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là:

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

 Trong không gian cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ chỉ có chung nhau một điểm A. Chứng minh rằng các vectơ $\overrightarrow{BB\text{'}}, \overrightarrow{CC\text{'}}, \overrightarrow{DD\text{'}}$ đồng phẳng.

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

a) Hãy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AO\text{'}}$, theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho.

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D\text{'}C\text{'}} + \overrightarrow{D\text{'}A\text{'}} = \overrightarrow{AB}$

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A'D'. Gọi P', Q, Q' lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDD'C', A'B'C'D', ADD'A'

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{PP\text{'}} + \overrightarrow{QQ\text{'}} + \overrightarrow{RR\text{'}} = \overrightarrow{0}$

b) Chứng minh hai tam giác PQR và P'Q'R' có trọng tâm trùng nhau.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng a. Trên các cạnh bên AA', BB', CC' ta lấy tương ứng các điểm M, N, P sao cho AM + BN + CP = a

Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Về một phía đối với mặt phẳng (α) ta dựng hình bình hành $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$. Trên các đoạn $A_1{A}_2, B_1{B}_2, C_1{C}_2, D_1{D}_2$ ta lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho

$\frac{A{A}_1}{A{A}_2} = \frac{B{B}_1}{B{B}_2} = \frac{C{C}_1}{C{C}_2} = \frac{D{D}_1}{D{D}_2} = 3$

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành