${\mathrm{d}}_1: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{-3}=\frac{\mathrm{z}-5}{4}$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-2\mathrm{t}\end{array}\right.$

Chứng minh rằng ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ cùng nằm trong một mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$).

Phương trình tham số của đường thẳng d: 

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (−1; 2; 3), $\overrightarrow{\mathrm{a}\text{'}}$ = (1; −2; 0).

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’; 1) trên d’ ta có $\overrightarrow{\mathrm{MM}\text{'}}$ = (t′ + t; 1 − 2t′ − 2t; 1 − 3t).

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là

Do đó MM'→ = 

Suy ra đường vuông góc chung Δ của d và d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ = (2; 1; 0)

Vậy phương trình tham số của $∆$ là: 

Xét phương trình:

2(1 + 2t) + (t) + (−2 – 3t) – 1 = 0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t = 1/2

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) tại điểm M(2; 1/2; −7/2).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (2; 1; 1) và $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$ = (2; 1; −3).

Gọi $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ là vecto pháp tuyến của Δ, ta có $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ $\perp$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ và $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ $\perp$ $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_d}$ = (−4; 8; 0) hay $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = (1; −2; 0)

Vậy phương trình tham số của $∆$ là