Cho phương trình $\frac{1 }{2 }{\log }_{2 } (x+2 )+x+3 = {\log }_{2 }\frac{2x +1 }{x} +(1+\frac{1 }{x }){ }^{2 }+2 \sqrt{x+ 2 }$, gọi S là tổng tất cả các nghiệm dương của nó. Khi đó, giá trị của S là.

Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 dm, người ta cắt bỏ bốn tam giác bằng nhau là AMB, BNC, CPD, DQA. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất

Nếu có một số lượng vi khuẩn đang phát triển ở góc bồn rửa chén ở nhà bếp của bạn. Bạn sử dụng một chất tẩy bồn rửa chén và đã có 99% vi khuẩn bị tiêu diệt. Giả sử, cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi. Để số lượng vi khuẩn phục hồi như cũ thì cần thời gian là (tính gần đúng và theo đơn vị phút)

Phương trình ${\log }_3(x-1)=2$ có nghiệm thuộc khoảng

Cho hình vuông $C_{1 }$ có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_{2 }$ (hình vẽ). Từ hình vuông $C_{2 }$lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1, C_2, C_3,...C_n$. Gọi Si  là diện tích của hình vuông $C_i (i \{1,2,3...\left\}\right)$. Đặt $T=S_1+S_2+...+S_n$ biết rằng  T=32/3, tính a?

Giả sử ${(1+x+x2+..+x10)}^{11}=a_0+a_{1}x+...+a_{10}{x}^{10}$² với $a_{0, }{a}_1,...a_{10}$ là các hệ số. Giá trị của tổng $T=C_{11}^0{a}_{11}-C_{11}^1{a}_{10}+...+C_{11}^{10}{a}_1-C_{11}^{11}{a}_0$ bằng

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông cân tại A, AB=AC=2a, AA'=3a. Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A'MN).

Tổng các hệ số nhị thức Niu – tơn trong khai triển ${(1+x)}^{3n }$ bằng 64. Số hạng không chứa x trong khai triển ${(2nx+\frac{1 }{2nx{ }^{2 }})}^{3n }$là