Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1),M(2;4;1),N(1;5;3). Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P):x+z-27=0 sao cho tồn tại các điểm B,D tương ứng thuộc các tia AM, AN để tứ giác ABCD là hình thoi.

Gọi A,B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, iz và 2z. Biết diện tích tam giác ABC bằng 4. Môđun của số phức z bằng

Một sinh viên A trong thời gian 4 năm học đại học đã vay ngân hàng mỗi năm 10 triệu đồng với lãi suất 3%/năm (thủ tục vay một năm một lần vào thời điểm đầu năm học). Khi ra trường A thất nghiệp nên chưa trả được tiền cho ngân hàng do vậy phải chịu lãi suất 8%/năm cho tổng số tiền vay gồm gốc và lãi của 4 năm học. Sau 1 năm thất nghiệp, sinh viên A cũng tìm được việc làm và bắt đầu trả nợ dần. Tổng số tiền mà sinh viên A nợ ngân hàng sau 4 năm học đại học và 1 năm thất nghiệp gần nhất với giá trị nào sau đây ?

Cho số phức z = a+bi $\left(a, b \in R\right)$ thoả mãn $\frac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo. Khi số phức z có môđun lớn nhất. Tính giá trị biểu thức P=a+b

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y+z-4=0. Có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba trục toạ độ x'Ox, y'Oy, z'Oz?

Xét các số thực với $a\ne 0,b>0$ sao cho phương trình $a{x}^3-x^2+b=0$ có ít nhất hai nghiệm thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức $a^{2}b$ bằng

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y=\frac{1}{x}, x=\frac{1}{2}, x=2$ và trục hoành. Đường thẳng x = k ($\frac{1}{2}$ < k <2) chia (H) thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để $S_1=3S_2$.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn $3f\left(x\right)+xf\text{'}\left(x\right)\ge x^{2018}$ với mọi $x\in [0;1]$. Giá trị nhỏ nhất của tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng