Cho các số phức $z_1=\mathrm{1,}{z}_2=2-3i$ và các số z thỏa mãn $\left|z-1-i\right|+\left|z-3+i\right|=2\sqrt{2}.$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=\left|z-z_i\right|+\left|z-z_2\right|.$Tính tổng $S=M+m$

Đáp án B.

Số phức $z_1=1$ có điểm biểu diễn là $A\left(1;0\right)$ , số phức $z_2=2-3i$  có điểm biểu diễn là $B\left(2;-3\right)$  

Gọi $E\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn của số phức z, khi đó $z=x+yi,\left(x,y\in ℝ\right)$ 

Suy ra 

$\begin{array}{l}P=\left|\left(x-1\right)+yi\right|+\left|\left(x-2\right)+\left(y+3\right)i\right|\\ =\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2}\end{array}$

$\Rightarrow P=EA+EB.$  

Mặt khác

$\begin{array}{l}\left|z-1-i\right|+\left|z-3+i\right|=2\sqrt{2}\\ \iff \left|\left(x-1\right)+\left(y-1\right)i\right|\\ +\left|\left(x-3\right)+\left(y+1\right)i\right|=2\sqrt{2}\end{array}$

 $\begin{array}{l}\iff \sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}\\ +\sqrt{{\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2}=2\sqrt{2}\left(*\right)\end{array}$ 

Gọi $M\left(1;1\right),N\left(3;-1\right)$ thì $EM+EN=2\sqrt{2}=MN\Rightarrow$ Điểm E thuộc đoạn MN.

Ta có phương trình đường thẳng MN là $x+y+z-2=0$ với  $x\in \left[1;3\right]$

Bài toán trở thành:

Cho điểm E thuộc đoạn MN . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=EA+EB$

Đặt $f\left(x\right)=x+y-2.$  Ta có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f\left(1;0\right)=1+0-2=-1\\ f\left(2;-3\right)=2-3-2=-3\end{array}\right.\\ \Rightarrow f\left(1;0\right).f\left(2;-3\right)=3>0\end{array}$ . Suy ra hai điểm A,B nằm cùng về một phía đối với MN . Gọi A' là điểm đối xứng với A qua MN thì $A\text{'}\left(2;1\right)$.Khi đó

$\begin{array}{l}P=EA+EB\\ =EA\text{'}+EB\ge A\text{'}B=4\end{array}$.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}E\in A\text{'}B\\ \Rightarrow E=A\text{'}B\cap MN\\ \Rightarrow E\left(2;0\right)\end{array}$ hay z = 2.

Do điểm E luôn thuộc đường thẳng MN nên $P=EA+EB$ đạt giá trị lớn nhất khi $E\equiv M$ hoặc $E\equiv N.$ 

Có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}MA+MB=1+\sqrt{17}\\ NA+NB=2\sqrt{5}\end{array}\right.\\ \Rightarrow MA+MB>NA+NB\\ \Rightarrow \max P=MA+MB\\ =1+\sqrt{17.}\end{array}$ 

Vậy

$\begin{array}{l}M=1+\sqrt{7},m=4\\ \Rightarrow S=M+m=5+\sqrt{17}.\end{array}$