Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x-3}$. Xét các mệnh đề sau:

(1)  Hàm số nghịch biến trên $D=ℝ\backslash \left\{3\right\}$ 

(2) Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x=1, tiệm cận ngang là y=3.

(3) Hàm số đã cho không có cực trị

(4) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(3;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

 

Chọn các mệnh đề đúng ?

Đáp án C

Tập xác định: $D=\left[-2;2\right]\backslash \left\{-1\right\}$. Ta thấy $y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$.

Ta có  $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{4-x^2}}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}=+\infty$ và $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{4-x^2}}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}=-\infty$ nên đồ thị có đúng một đường tiệm cận đứng là x= -1.

Do tập xác định $D=\left[-2;2\right]\backslash \left\{-1\right\}$ nên ta không xét được $\underset{x\to -\infty }{\lim }y$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y$. Vậy hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Đáp án B

Sai lầm thường gặp: Ta thấy 

$\begin{array}{l}y=\left|x\right|=\sqrt{x^2},\\ y\text{'}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left|x\right|}=\left\{\begin{array}{l}\text{1 khi }x>0\\ -1\text{ khi }x<0\end{array}\right.\end{array}$

Từ đó học sinh kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại x=0 và cũng không đạt cực trị tại điểm x=0. Nhiều học sinh sẽ chọn ngay phương án A. Đây là đáp án sai.

Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh ngộ nhận ngay điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị là “Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại $x_0$  thì $f\text{'}\left(x_0\right)=0$  ”, từ đó nếu $f\text{'}\left(x_0\right)\ne 0$ thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_0$ . Tuy nhiên, điều này là sai lầm vì định lý trên chiều ngược lại có thể không đúng, tức chỉ đúng với một chiều.

Vậy, đối với hàm số đã cho ta có $y\text{'}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left|x\right|}=\left\{\begin{array}{l}\text{1 khi }x>0\\ -1\text{ khi }x<0\end{array}\right.$.

Dễ thấy đạo hàm y' đổi dấu qua điểm x=0 nên x=0 là điểm cực trị của hàm số, ở đây x=0là điểm cực tiểu của hàm số.

Quan sát đồ thị hàm số $y=\left|x\right|$ hình vẽ bên để hiểu rõ hơn về điểm cực trị của hàm số này.