Cho hàm số y=1x. Khi đó ynx bằng (đạo hàm cấp n của hàm số) A.ynx=−1nn!xn+1 B.ynx=n!xn+1 C.ynx=−1nn!xn D.ynx=n!xn

Đáp án ATa có y'=−1x2=−11.1!x2; y''=−2x3=−12.2!x3; y'''=−6x4=−13.3!x4. Dự đoán yn=−1n.n!xn+1*. Chứng minh mệnh đề (*):* Với n=1 thì *⇔y'=−1x2. Khi đó (*) đúng.* Giả sử (*) đúng với n=k,k≥1 , tức là yk=−1k.k!xk+1 .Khi đó yk+1=yk'=−1k.k!xk+1=−1k.−k+1.k!.xkxk+12=−1k+1.k+1!xk+2. Vậy mệnh đề (*) cũng đúng với n=k+1 nên nó đúng với mọi n.

Câu hỏi:

13/08/2020 211

Cho hàm số $y = \frac{1}{x}$ . Khi đó $y^{(n)} (x)$ bằng (đạo hàm cấp n của hàm số)

A. $y^{(n)} (x) = {(- 1)}^{n} \frac{n!}{x^{n + 1}}$

B. $y^{(n)} (x) = \frac{n!}{x^{n + 1}}$

C. $y^{(n)} (x) = {(- 1)}^{n} \frac{n!}{x^{n}}$

D. $y^{(n)} (x) = \frac{n!}{x^{n}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Ta có $y' = - \frac{1}{x^{2}} = {(- 1)}^{1} . \frac{1!}{x^{2}}$ ; $y'' = - \frac{2}{x^{3}} = {(- 1)}^{2} . \frac{2!}{x^{3}}$ ; $y''' = - \frac{6}{x^{4}} = {(- 1)}^{3} . \frac{3!}{x^{4}}$ .

Dự đoán $y^{(n)} = {(- 1)}^{n} . \frac{n!}{x^{n + 1}} (*)$ . Chứng minh mệnh đề (*):

* Với n=1 thì $(*) \Leftrightarrow y' = - \frac{1}{x^{2}}$ . Khi đó (*) đúng.

* Giả sử (*) đúng với $n = k, (k \geq 1)$ , tức là $y^{(k)} = {(- 1)}^{k} . \frac{k!}{x^{k + 1}}$ .

Khi đó $y^{(k + 1)} = {(y^{(k)})}^{'} = {(- 1)}^{k} . \frac{k!}{x^{k + 1}}$ $= {(- 1)}^{k} . (- \frac{(k + 1) . k! . x^{k}}{{(x^{k + 1})}^{2}})$ $= {(- 1)}^{k + 1} . \frac{(k + 1)!}{x^{k + 2}}$ . Vậy mệnh đề (*) cũng đúng với n=k+1 nên nó đúng với mọi n.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2} - 3 x - 4}$ là

A. 0.

B. 3

C. 1

D. 2

Lời giải

Đáp án C

Tập xác định: $D = [- 2; 2] \ \{- 1\}$ . Ta thấy $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)}$ .

Ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)} = + \infty$ và $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)} = - \infty$ nên đồ thị có đúng một đường tiệm cận đứng là x= -1.

Do tập xác định $D = [- 2; 2] \ \{- 1\}$ nên ta không xét được $\lim_{x \to - \infty} y$ và $\lim_{x \to + \infty} y$ . Vậy hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Câu 2

Cho hàm số $y = |x|$ . Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và không đạt cực tiểu tại x=0

B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng đạt cực tiểu tại x=0

C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0

D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0

Lời giải

Đáp án B

Sai lầm thường gặp: Ta thấy

$\begin{array}{l} y = |x| = \sqrt{x^{2}}, \\ y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{x}{|x|} = \{\begin{cases} 1 khi x > 0 \\ - 1 khi x < 0 \end{cases} \end{array}$

Từ đó học sinh kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại x=0 và cũng không đạt cực trị tại điểm x=0. Nhiều học sinh sẽ chọn ngay phương án A. Đây là đáp án sai.

Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh ngộ nhận ngay điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị là “Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f' (x_{0}) = 0$ ”, từ đó nếu $f' (x_{0}) \neq 0$ thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ . Tuy nhiên, điều này là sai lầm vì định lý trên chiều ngược lại có thể không đúng, tức chỉ đúng với một chiều.