Câu hỏi:

13/08/2020 144

Cho hình lăng trụ ABC A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC

A. $\frac{4 a}{3}$

B. $\frac{2 a}{3}$

C. $\frac{3 a}{4}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{3 a}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Ta dễ dàng chứng minh được $A A' / / (B C C' B')$

$\Rightarrow d (A A'; B C) = d (A A'; (B C C' B'))$ $= d (A; (B C C' B'))$

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra $A' G ⊥ (A B C)$ .

Ta có $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V_{A B C . A' B' C'} = A' G . S_{Δ A B C} \\ \Leftrightarrow A' G = \frac{V_{A B C . A' B' C'}}{S_{Δ A B C}} \\ = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} : \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = a \end{array}$

Lại có

$\begin{array}{l} A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow A G = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow A A' = \sqrt{A' G^{2} + A G^{2}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} \end{array}$

Ta luôn có $V_{A' . A B C} = \frac{1}{3} V_{A B C . A' B' C'} = \frac{1}{3} . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$ .

Mà $V_{A B C . A' B' C'} = V_{A' . A B C} + V_{A' . B C C' B'}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V_{A' . B C C' B'} = V_{A B C . A' B' C'} - V_{A' . A B C} \\ = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} - \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} \end{array}$ .

Gọi M,M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Ta có $B C ⊥ A M, B C ⊥ A' G$ $\Rightarrow B C ⊥ (A M M' A') \Rightarrow B C ⊥ M M'$ . Mà $M M' / / B B'$ nên $B C ⊥ B B' \Rightarrow B C C' B'$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow S_{B C C' B'} = B B' . B C = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} . a = \frac{2 a^{2} \sqrt{3}}{3}$ .

Từ

$\begin{array}{l} V_{A' . B C C' B'} = \frac{1}{3} d (A'; (B C C' B')) . S_{B C C' B'} \\ \Leftrightarrow d (A'; (B C C' B')) = \frac{3 V_{A' . B C C' B'}}{S_{B C C' B'}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d (A'; (B C C' B')) \\ = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} : \frac{2 a^{2} \sqrt{3}}{3} = \frac{3 a}{4} \end{array}$ . Vậy $d (A A'; B C) = \frac{3 a}{4}$ .

Bình luận

Câu 1:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2} - 3 x - 4}$ là

A. 0.

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án » 12/08/2020 26,898

Câu 2:

Cho hàm số $y = |x|$ . Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và không đạt cực tiểu tại x=0

B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng đạt cực tiểu tại x=0

C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0

D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0

Xem đáp án » 12/08/2020 6,881

Câu 3:

Tổng các nghiệm của phương trình $2^{2 x - 3} - {3.2}^{x - 2} + 1 = 0$ là

A. 6

B. 3

C. 5

D. -4

Xem đáp án » 12/08/2020 6,345

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (2; 1; - 1)$ , $B (3; 0; 1)$ , $C (2; - 1; 3)$ và điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là

A. $D (0; - 7; 0)$

B. $D (0; 8; 0)$

C. $[\begin{array}{l} D (1; - 7; 0) \\ D (0; 8; 0) \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} D (0; 7; 0) \\ D (0; - 8; 0) \end{array}$

Xem đáp án » 13/08/2020 2,053

Câu 5:

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - x - 1$ bằng

A. $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

C. $\frac{10 \sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$

Xem đáp án » 13/08/2020 1,477

Câu 6:

Cho $\log_{27} 5 = a, \log_{8} 7 = b, \log_{2} 3 = c$ . Tính $\log_{12} 35$

A. $\frac{3 b + 3 a c}{c + 2}$

B. $\frac{3 b + 2 a c}{c + 2}$

C. $\frac{3 b + 2 a c}{c + 3}$

D. $\frac{3 b + 3 a c}{c + 1}$

Xem đáp án » 12/08/2020 1,350

Câu 7:

Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) như hình vẽ dưới đây

A. $S = 2 \sqrt{3} - \frac{2}{3}$

B. $S = \frac{28}{3}$

C. $S = \frac{29}{3}$

D. $S = 3 \sqrt{2} - \frac{1}{3}$

Xem đáp án » 12/08/2020 1,298

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2} - 3 x - 4}$ là

Cho hàm số $y = |x|$ . Chọn mệnh đề đúng:

Tổng các nghiệm của phương trình $2^{2 x - 3} - {3.2}^{x - 2} + 1 = 0$ là

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (2; 1; - 1)$ , $B (3; 0; 1)$ , $C (2; - 1; 3)$ và điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - x - 1$ bằng

Cho $\log_{27} 5 = a, \log_{8} 7 = b, \log_{2} 3 = c$ . Tính $\log_{12} 35$

Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) như hình vẽ dưới đây

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=4−x2x2−3x−4 là

Cho hàm số y=x. Chọn mệnh đề đúng:

Tổng các nghiệm của phương trình 22x−3−3.2x−2+1=0 là

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A2;1;−1 , B3;0;1, C2;−1;3 và điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=13x3−x2−x−1 bằng

Cho log275=a,log87=b,log23=c. Tính log1235

Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) như hình vẽ dưới đây

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2} - 3 x - 4}$ là

Cho hàm số $y = |x|$ . Chọn mệnh đề đúng:

Tổng các nghiệm của phương trình $2^{2 x - 3} - {3.2}^{x - 2} + 1 = 0$ là

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (2; 1; - 1)$ , $B (3; 0; 1)$ , $C (2; - 1; 3)$ và điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - x - 1$ bằng

Cho $\log_{27} 5 = a, \log_{8} 7 = b, \log_{2} 3 = c$ . Tính $\log_{12} 35$