Câu hỏi:

13/08/2020 201

Cho hình lăng trụ ABC A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC

A. $\frac{4 a}{3}$

B. $\frac{2 a}{3}$

C. $\frac{3 a}{4}$

D. $\frac{3 a}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Ta dễ dàng chứng minh được $A A' / / (B C C' B')$

$\Rightarrow d (A A'; B C) = d (A A'; (B C C' B'))$ $= d (A; (B C C' B'))$

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra $A' G ⊥ (A B C)$ .

Ta có $S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V_{A B C . A' B' C'} = A' G . S_{Δ A B C} \\ \Leftrightarrow A' G = \frac{V_{A B C . A' B' C'}}{S_{Δ A B C}} \\ = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} : \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = a \end{array}$

Lại có

$\begin{array}{l} A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow A G = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow A A' = \sqrt{A' G^{2} + A G^{2}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} \end{array}$

Ta luôn có $V_{A' . A B C} = \frac{1}{3} V_{A B C . A' B' C'} = \frac{1}{3} . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$ .

Mà $V_{A B C . A' B' C'} = V_{A' . A B C} + V_{A' . B C C' B'}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V_{A' . B C C' B'} = V_{A B C . A' B' C'} - V_{A' . A B C} \\ = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} - \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} \end{array}$ .

Gọi M,M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Ta có $B C ⊥ A M, B C ⊥ A' G$ $\Rightarrow B C ⊥ (A M M' A') \Rightarrow B C ⊥ M M'$ . Mà $M M' / / B B'$ nên $B C ⊥ B B' \Rightarrow B C C' B'$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow S_{B C C' B'} = B B' . B C = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} . a = \frac{2 a^{2} \sqrt{3}}{3}$ .

Từ

$\begin{array}{l} V_{A' . B C C' B'} = \frac{1}{3} d (A'; (B C C' B')) . S_{B C C' B'} \\ \Leftrightarrow d (A'; (B C C' B')) = \frac{3 V_{A' . B C C' B'}}{S_{B C C' B'}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d (A'; (B C C' B')) \\ = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} : \frac{2 a^{2} \sqrt{3}}{3} = \frac{3 a}{4} \end{array}$ . Vậy $d (A A'; B C) = \frac{3 a}{4}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2} - 3 x - 4}$ là

A. 0.

B. 3

C. 1

D. 2

Lời giải

Đáp án C

Tập xác định: $D = [- 2; 2] \ \{- 1\}$ . Ta thấy $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)}$ .

Ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)} = + \infty$ và $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)} = - \infty$ nên đồ thị có đúng một đường tiệm cận đứng là x= -1.

Do tập xác định $D = [- 2; 2] \ \{- 1\}$ nên ta không xét được $\lim_{x \to - \infty} y$ và $\lim_{x \to + \infty} y$ . Vậy hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Câu 2

Cho hàm số $y = |x|$ . Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và không đạt cực tiểu tại x=0

B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng đạt cực tiểu tại x=0

C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0

D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0

Lời giải

Đáp án B

Sai lầm thường gặp: Ta thấy

$\begin{array}{l} y = |x| = \sqrt{x^{2}}, \\ y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{x}{|x|} = \{\begin{cases} 1 khi x > 0 \\ - 1 khi x < 0 \end{cases} \end{array}$

Từ đó học sinh kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại x=0 và cũng không đạt cực trị tại điểm x=0. Nhiều học sinh sẽ chọn ngay phương án A. Đây là đáp án sai.

Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh ngộ nhận ngay điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị là “Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f' (x_{0}) = 0$ ”, từ đó nếu $f' (x_{0}) \neq 0$ thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ . Tuy nhiên, điều này là sai lầm vì định lý trên chiều ngược lại có thể không đúng, tức chỉ đúng với một chiều.