Cho hàm số $f (x) = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} x + 1}$ . Tính tổng $S = f (2^{- 100}) + f (2^{- 99}) + ... + f (2^{- 2})$ $+ f (2^{0}) + f (2^{1}) + ... + f (2^{98})$

A. S=99

B.S=100

C.S=200

D. S=198

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Ý tưởng bài toán: Với bài toán dạng này, ta thường chọn hai giá trị a, b bất kì, tính tổng $f (a) + f (b)$ và tìm mối quan hệ giữa hai giá trị a, b.

$\begin{array}{l} f (a) + f (b) \\ = \frac{\log_{2} a}{\log_{2} a + 1} + \frac{\log_{2} b}{\log_{2} b + 1} \\ = \frac{2 \log_{2} a \log_{2} b + \log_{2} a + \log_{2} b}{(\log_{2} a + 1) (\log_{2} b + 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 \log_{2} a \log_{2} b + \log_{2} a + \log_{2} b}{\log_{2} a \log_{2} b + \log_{2} a + \log_{2} b + 1} \\ = \frac{2 \log_{2} a \log_{2} b + \log_{2} a b}{\log_{2} a \log_{2} b + \log_{2} a b + 1} \end{array}$

Cần chọn hai giá trị a, b sao cho tử rút gọn được với mẫu.

Ta thường chọn a+b=k hoặc ab=k. Ở bài toán này ta chọn ab=k.

Nếu $a b = \frac{1}{4}$ thì $\log_{2} a b = \log_{2} \frac{1}{4} = - 2$ .

Suy ra

$\begin{array}{l} f (a) + f (b) \\ = \frac{2 \log_{2} a \log_{2} b - 2}{\log_{2} a \log_{2} b - 2 + 1} = 2 \end{array}$

Vậy với các giá trị a, b thỏa mãn $a b = \frac{1}{4}$ thì $f (a) + f (b) = 2$ .

Ta có

$\begin{array}{l} S = f (2^{- 100}) + f (2^{- 99}) + ... + f (2^{- 2}) \\ + f (2^{0}) + f (2^{1}) + ... + f (2^{98}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = [f (2^{- 100}) + f (2^{98})] + [f (2^{- 99}) + f (2^{97})] \\ + ... + [f (2^{- 2}) + f (2^{0})] = \underset{99 s o 2}{\underset{⏟}{2 + 2 + ... + 2}} \end{array}$

$= 99.2 = 198$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2} - 3 x - 4}$ là

A. 0.

B. 3

C. 1

D. 2

Lời giải

Đáp án C

Tập xác định: $D = [- 2; 2] \ \{- 1\}$ . Ta thấy $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)}$ .

Ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)} = + \infty$ và $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)} = - \infty$ nên đồ thị có đúng một đường tiệm cận đứng là x= -1.

Do tập xác định $D = [- 2; 2] \ \{- 1\}$ nên ta không xét được $\lim_{x \to - \infty} y$ và $\lim_{x \to + \infty} y$ . Vậy hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Câu 2

Cho hàm số $y = |x|$ . Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và không đạt cực tiểu tại x=0

B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng đạt cực tiểu tại x=0

C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0

D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0

Lời giải

Đáp án B

Sai lầm thường gặp: Ta thấy

$\begin{array}{l} y = |x| = \sqrt{x^{2}}, \\ y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{x}{|x|} = \{\begin{cases} 1 khi x > 0 \\ - 1 khi x < 0 \end{cases} \end{array}$

Từ đó học sinh kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại x=0 và cũng không đạt cực trị tại điểm x=0. Nhiều học sinh sẽ chọn ngay phương án A. Đây là đáp án sai.

Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh ngộ nhận ngay điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị là “Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f' (x_{0}) = 0$ ”, từ đó nếu $f' (x_{0}) \neq 0$ thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ . Tuy nhiên, điều này là sai lầm vì định lý trên chiều ngược lại có thể không đúng, tức chỉ đúng với một chiều.