Biết đồ thị hàm số  $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi $S_1$  là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f(x)  nằm dưới trục hoành. Gọi $S_2$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành. Cho biết $5b^2=36ac$. Tính tỉ số  $\frac{S_1}{S_2}$

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f(x) và Ox: $a{x}^4+b{x}^2+c=0$.

Để phương trình có bốn nghiệm

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2-4ac>0\\ -\frac{b}{a}>0\\ \frac{c}{a}>0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2-\frac{5}{9}{b}^2>0\\ -\frac{b}{a}>0\\ \frac{c}{a}>0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}b\ne 0\\ -\frac{b}{a}>0\\ \frac{c}{a}>0\end{array}\right.\end{array}$ 

Gọi $x_1,x_2,x_3,x_4$ lần lượt là bốn nghiệm của phương trình $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ và$x_1<x_2<x_3<x_4$  . Không mất tính tổng quát, giả sử a>0.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{-b+\frac{2b}{3}}{2a}=-\frac{b}{6a}\\ x^2=\frac{-b-\frac{2b}{3}}{2a}=-\frac{5b}{6a}\end{array}\right.,\left(b<0\right)$.

Suy ra

$\begin{array}{l}{x}_1=-\sqrt{-\frac{5b}{6a}};\\ x_2=-\sqrt{-\frac{b}{6a}};\\ x_3=\sqrt{-\frac{b}{6a}};\\ x_4=\sqrt{-\frac{5b}{6a}}\end{array}$

Do đồ thị hàm số f(x) nhận trục tung làm trục đối xứng  nên ta có:

$\begin{array}{l}{S}_1=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{x_3}{\overset{x_4}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx\\ =-2\underset{x_3}{\overset{x_4}{\int }}f\left(x\right)dx\\ =-2\underset{x_3}{\overset{x_4}{\int }}\left(a{x}^4+b{x}^2+c\right)dx\end{array}$ 

$\begin{array}{l}=-2\left(\frac{a{x}^5}{5}+\frac{b{x}^3}{3}+cx\right)\left|\begin{array}{l}{x}_4\\ x_3\end{array}\right.\\ =\frac{2a{x}_3^5}{5}+\frac{b{x}_3^3}{3}+c{x}_3-\frac{2a{x}_4^5}{5}+\frac{b{x}_4^3}{3}+c{x}_4.\end{array}$ 

$\begin{array}{l}{S}_2=\underset{x_2}{\overset{x_3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=2\underset{0}{\overset{x_3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx\\ =2\underset{0}{\overset{x_3}{\int }}\left(a{x}^4+b{x}^2+c\right)dx\\ =2\left(\frac{a{x}^5}{5}+\frac{b{x}^3}{3}+cx\right)\left|\begin{array}{l}{x}_3\\ 0\end{array}\right.\end{array}$

$=\frac{2a{x}_3^5}{5}+\frac{2b{x}_3^3}{3}+2c{x}_3$.

Suy ra

$\begin{array}{l}{S}_2-S_1=\frac{2a{x}_4^5}{5}+\frac{2a{x}_4^3}{3}+2c{x}_4\\ =\frac{2a}{5}{\left(\sqrt{-\frac{5b}{6a}}\right)}^5+\frac{2b}{3}{\left(\sqrt{-\frac{5b}{6a}}\right)}^3+2c\left(\sqrt{-\frac{5b}{6a}}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{2a}{5}.\frac{25b^2}{36a^2}\sqrt{-\frac{5b}{6a}}-\frac{2b}{3}.\frac{5b}{6a}\sqrt{-\frac{5b}{6a}}+2c\sqrt{-\frac{5b}{6a}}\\ =\sqrt{-\frac{5b}{6a}}\left(\frac{5b^2}{18a}-\frac{5b^2}{9a}+2c\right)\end{array}$

$=\sqrt{-\frac{5b}{6a}}.\frac{-5b^2+36ac}{18a}=0$

Vậy $S_1=S_2$ hay $\frac{S_1}{S_2}=1$.