Câu hỏi:

13/08/2020 201

Biết đồ thị hàm số $f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi $S_{1}$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f(x) nằm dưới trục hoành. Gọi $S_{2}$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành. Cho biết $5 b^{2} = 36 a c$ . Tính tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$

A. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 2$

B. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{4}$

C. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{2}$

D. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f(x) và Ox: $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ .

Để phương trình có bốn nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} - 4 a c > 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} - \frac{5}{9} b^{2} > 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} b \neq 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \end{array}$

Gọi $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ lần lượt là bốn nghiệm của phương trình $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ và $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ . Không mất tính tổng quát, giả sử a>0.

Khi đó $\{\begin{cases} x^{2} = \frac{- b + \frac{2 b}{3}}{2 a} = - \frac{b}{6 a} \\ x^{2} = \frac{- b - \frac{2 b}{3}}{2 a} = - \frac{5 b}{6 a} \end{cases}, (b < 0)$ .

Suy ra

$\begin{array}{l} x_{1} = - \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}}; \\ x_{2} = - \sqrt{- \frac{b}{6 a}}; \\ x_{3} = \sqrt{- \frac{b}{6 a}}; \\ x_{4} = \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} \end{array}$

Do đồ thị hàm số f(x) nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có:

$\begin{array}{l} S_{1} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} |f (x)| d x + \int_{x_{3}}^{x_{4}} |f (x)| d x \\ = - 2 \int_{x_{3}}^{x_{4}} f (x) d x \\ = - 2 \int_{x_{3}}^{x_{4}} (a x^{4} + b x^{2} + c) d x \end{array}$

$\begin{array}{l} = - 2 (\frac{a x^{5}}{5} + \frac{b x^{3}}{3} + c x) |\begin{array}{l} x_{4} \\ x_{3} \end{array} \\ = \frac{2 a x_{3}^{5}}{5} + \frac{b x_{3}^{3}}{3} + c x_{3} - \frac{2 a x_{4}^{5}}{5} + \frac{b x_{4}^{3}}{3} + c x_{4} . \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{2} = \int_{x_{2}}^{x_{3}} |f (x)| d x = 2 \int_{0}^{x_{3}} |f (x)| d x \\ = 2 \int_{0}^{x_{3}} (a x^{4} + b x^{2} + c) d x \\ = 2 (\frac{a x^{5}}{5} + \frac{b x^{3}}{3} + c x) |\begin{array}{l} x_{3} \\ 0 \end{array} \end{array}$

$= \frac{2 a x_{3}^{5}}{5} + \frac{2 b x_{3}^{3}}{3} + 2 c x_{3}$ .

Suy ra

$\begin{array}{l} S_{2} - S_{1} = \frac{2 a x_{4}^{5}}{5} + \frac{2 a x_{4}^{3}}{3} + 2 c x_{4} \\ = \frac{2 a}{5} {(\sqrt{- \frac{5 b}{6 a}})}^{5} + \frac{2 b}{3} {(\sqrt{- \frac{5 b}{6 a}})}^{3} + 2 c (\sqrt{- \frac{5 b}{6 a}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 a}{5} . \frac{25 b^{2}}{36 a^{2}} \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} - \frac{2 b}{3} . \frac{5 b}{6 a} \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} + 2 c \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} \\ = \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} (\frac{5 b^{2}}{18 a} - \frac{5 b^{2}}{9 a} + 2 c) \end{array}$

$= \sqrt{- \frac{5 b}{6 a}} . \frac{- 5 b^{2} + 36 a c}{18 a} = 0$

Vậy $S_{1} = S_{2}$ hay $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2} - 3 x - 4}$ là

A. 0.

B. 3

C. 1

D. 2

Lời giải

Đáp án C

Tập xác định: $D = [- 2; 2] \ \{- 1\}$ . Ta thấy $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)}$ .

Ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)} = + \infty$ và $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{(x + 1) (x - 4)} = - \infty$ nên đồ thị có đúng một đường tiệm cận đứng là x= -1.

Do tập xác định $D = [- 2; 2] \ \{- 1\}$ nên ta không xét được $\lim_{x \to - \infty} y$ và $\lim_{x \to + \infty} y$ . Vậy hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Câu 2

Cho hàm số $y = |x|$ . Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và không đạt cực tiểu tại x=0

B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng đạt cực tiểu tại x=0

C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0

D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0

Lời giải

Đáp án B

Sai lầm thường gặp: Ta thấy

$\begin{array}{l} y = |x| = \sqrt{x^{2}}, \\ y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{x}{|x|} = \{\begin{cases} 1 khi x > 0 \\ - 1 khi x < 0 \end{cases} \end{array}$

Từ đó học sinh kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại x=0 và cũng không đạt cực trị tại điểm x=0. Nhiều học sinh sẽ chọn ngay phương án A. Đây là đáp án sai.

Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh ngộ nhận ngay điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị là “Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f' (x_{0}) = 0$ ”, từ đó nếu $f' (x_{0}) \neq 0$ thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ . Tuy nhiên, điều này là sai lầm vì định lý trên chiều ngược lại có thể không đúng, tức chỉ đúng với một chiều.