Cho tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau: $\left\{1\right\},\left\{2;3\right\},\left\{4;5;6\right\},\left\{7;8;9;10\right\}\mathrm{,...}$, trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hơp ngay trước đó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị. Gọi $S_n$ là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n. Tính $S_{999}$ 

Đáp án C

Tập xác định: $D=\left[-2;2\right]\backslash \left\{-1\right\}$. Ta thấy $y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$.

Ta có  $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{4-x^2}}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}=+\infty$ và $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{4-x^2}}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}=-\infty$ nên đồ thị có đúng một đường tiệm cận đứng là x= -1.

Do tập xác định $D=\left[-2;2\right]\backslash \left\{-1\right\}$ nên ta không xét được $\underset{x\to -\infty }{\lim }y$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y$. Vậy hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Đáp án B

Sai lầm thường gặp: Ta thấy 

$\begin{array}{l}y=\left|x\right|=\sqrt{x^2},\\ y\text{'}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left|x\right|}=\left\{\begin{array}{l}\text{1 khi }x>0\\ -1\text{ khi }x<0\end{array}\right.\end{array}$

Từ đó học sinh kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại x=0 và cũng không đạt cực trị tại điểm x=0. Nhiều học sinh sẽ chọn ngay phương án A. Đây là đáp án sai.

Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh ngộ nhận ngay điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị là “Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại $x_0$  thì $f\text{'}\left(x_0\right)=0$  ”, từ đó nếu $f\text{'}\left(x_0\right)\ne 0$ thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_0$ . Tuy nhiên, điều này là sai lầm vì định lý trên chiều ngược lại có thể không đúng, tức chỉ đúng với một chiều.

Vậy, đối với hàm số đã cho ta có $y\text{'}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left|x\right|}=\left\{\begin{array}{l}\text{1 khi }x>0\\ -1\text{ khi }x<0\end{array}\right.$.

Dễ thấy đạo hàm y' đổi dấu qua điểm x=0 nên x=0 là điểm cực trị của hàm số, ở đây x=0là điểm cực tiểu của hàm số.

Quan sát đồ thị hàm số $y=\left|x\right|$ hình vẽ bên để hiểu rõ hơn về điểm cực trị của hàm số này.