Câu hỏi:

15/08/2020 183

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh A. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm I thuộc đoạn AB sao cho BI=2AI. Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) bằng $60 °$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

A. $\frac{\sqrt{93}}{31} a$

B. $\frac{3 \sqrt{93}}{31} a$

C. $\sqrt{\frac{93}{31}} a$

D. $3 \sqrt{\frac{93}{31}} a$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

Ta có $A D / / B C, A D \notin (S B C), B C \subset (S B C) \Rightarrow A D / / (S B C)$

$\Rightarrow d (A D; S C) = d (A D; (S B C)) = d (D; (S B C))$ .

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.

Suy ra $I H ⊥ C D$

Từ $C D ⊥ I H, C D ⊥ S I \Rightarrow C D ⊥ (S I H) \Rightarrow C D ⊥ S H$ .

Suy ra $(\overset{⏜}{(S C D), (A B C D)}) = (\overset{⏜}{S H, I H}) = \overset{⏜}{S H I} \Rightarrow C D ⊥ S H$

$S I = H I . \tan \overset{⏜}{S H I} = a . \tan 60 ° = a \sqrt{3} \Rightarrow V_{S . B C D} = \frac{1}{2} S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Lại có $V_{S . B C D} = \frac{1}{3} . S_{∆ S B C} . d (D; (S B C)) \Rightarrow d (D; (S B C) = \frac{3 V_{S . B C D}}{S_{∆ S B C}}$ (1)

Từ $I B = \frac{2}{3} A B = \frac{2}{3} a \Rightarrow S B = \sqrt{S I^{2} + I B^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} + {(\frac{2 a}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{31}}{3}$ .

Từ $B C ⊥ A B, B C ⊥ S I \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B \Rightarrow ∆ S B C$ vuông tại B.

Suy ra $S_{∆ S B C} = \frac{1}{2} S B . S C = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{31}}{3} . a = \frac{a^{2} \sqrt{31}}{6}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $d (D; (S B C)) = \frac{3 \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}}{\frac{a^{2} \sqrt{31}}{6}} = \frac{3 a \sqrt{3}}{\sqrt{31}} = \frac{3 \sqrt{39}}{31} a$

Vậy $d (A D; S C) = d (D; (S B C)) = \frac{3 \sqrt{93}}{31} a$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cắt một miếng giấy hình vuông và xếp thành một hình chóp tứ giác đều (hình vẽ). Biết cạnh hình vuông bằng 20 (cm), OM = x (cm). Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất.

A. x = 9 (cm)

B. x = 8 (cm)

C. x = 6 (cm)

D. x = 7 (cm)

Lời giải

Đáp án B.

Sau khi cắt miếng giấy hình vuông như hình vẽ, ta xếp lại được thành hình chóp tứ giác đều S.MNPQ (hình bên).

Ta có $O M = x \Rightarrow M P = M Q = 20 M = 2 x = M N \sqrt{2} \Rightarrow M N = \sqrt{2} x$ (cm).

Gọi H là trung điểm $P Q \Rightarrow O H = \frac{M N}{2} = \frac{\sqrt{2} x}{2}$ (cm) và $S H = 10 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} x}{2}$ (cm).

Suy ra $S O = \sqrt{S H^{2} - O H^{2}} = \sqrt{{(10 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} x}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{2} x}{2})}^{2}} = \sqrt{20 (10 - x)}$ .

Thể tích khối chóp S.MNPQ là:

$V_{M N P Q} = \frac{1}{3} . S O . S_{M N P Q} = \frac{1}{3} \sqrt{20 (10 - x)} . {(\sqrt{2} x)}^{2} = \frac{\sqrt{20}}{3} \sqrt{(40 - 4 x) . x^{4}}$
$\to V_{M N P Q} = \frac{\sqrt{20}}{3} \sqrt{(40 - 4 x) . x . x . x . x} \leq \frac{\sqrt{20}}{3} \sqrt{(\frac{40 - 4 x + x + x + x + x}{5})} = \frac{256 \sqrt{10}}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 40 - 4 x = x \Leftrightarrow x = 8$ (cm).

Câu 2

Cho tam giác ABC có A(1;2),B(5;4),C(3;-2). Gọi A',B',C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm I(1;5), tỉ số k = -3. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C' bằng

A. $3 \sqrt{10}$

B. $6 \sqrt{10}$

C. $2 \sqrt{5}$

D. $3 \sqrt{5}$

Lời giải

Đáp án A.

Gọi K(a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ .

Ta có: $A K^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2}; B K^{2} = {(a - 5)}^{2} + {(b - 4)}^{2}$ và

$C K^{2} = {(a - 3)}^{2} + {(b + 2)}^{2}$ .

Từ $A K^{2} = B K^{2} = C K^{2}$ , ta có $\{\begin{cases} {(a - 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2} = {(a - 5)}^{2} + {(b - 4)}^{2} \\ {(a - 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2} = {(a - 3)}^{2} + {(b + 2)}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} - 2 a - 4 b + 5 = - 10 a - 8 b + 41 \\ - 2 a - 4 b + 5 = - 6 a + 4 b + 13 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a + b = 9 \\ a - 2 b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a = 4 \\ b = 1 \end{array} \to K (4; 1)$ .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $∆ A B C$ là $R = A K = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(1 - 2)}^{2}} = \sqrt{10}$ .

Gọi K' là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ A' B' C'$ , do $V_{(1; - 3)} = (∆ A B C) = ∆ A' B' C'$ nên $V_{(1; - 3)} (K) = K' \to \vec{I K} = - 3 \vec{I K}$ . Mà $V_{(1; - 3)} (A) = A' \to \vec{I A} = - 3 \vec{I A}$ .

Suy ra $\vec{I A'} - \vec{I K'} = - 3 (\vec{I A} - \vec{I K}) \Leftrightarrow \vec{K' A'} = - 3 \vec{K A}$ . Bán kính đường tròn ngoại tiếp $∆ A' B' C'$ là $R = K' A' = 3 K A = 3 R = 3 \sqrt{10}$ .

Câu 3

Hình chóp đều S.ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. Không tồn tại phép dời hình biến hình chóp S.ABCD thành chính nó.

B. Ảnh của hình chóp S.ABCD qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{A O}$ là chính nó.

C. Ảnh của hình chóp S.ABCD qua phép đối xứng mặt phẳng $(A B C D)$ là chính nó.

D. Ảnh của hình chóp S.ABCD qua phép đối xứng trục SO là chính nó.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 7. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của E. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{4}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập A. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1

A. 0,015.

B. 0,02.

C. 0,15.

D. 0,2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cô Huyền gửi tổng cộng 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,37% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng tiền lãi đạt được ở hai ngân hàng là 27.507.768,13 đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền cô Huyền gửi lần lượt ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?

A. 140 triệu và 180 triệu.

B. 120 triệu và 200 triệu.

C. 200 triệu và 120 triệu.

D. 180 triệu và 140 triệu.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hai số phức $z_{1} = 1 + i$ và $z_{2} = 1 - i$ . Kết luận nào sau đây là sai?

A. $\frac{z_{1}}{z_{2}} = i$

B. $|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{2}$

C. $z_{1} + z_{2} = 2$

D. $|z_{1} z_{2}| = 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học