Cho số phức z thỏa mãn z−1z+3i=12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=z+i+2z¯−4+7i A. 8 B. 10 C. 25 D. 45

Câu hỏi:

16/08/2020 366

Cho số phức z thỏa mãn $|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}} .$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i|$

A. 8

B. 10

C. $2 \sqrt{5}$

D. $4 \sqrt{5}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ),$ khi đó $|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{2} |z - 1| = |z + 3 i|$

$\Leftrightarrow 2 [{(x - 1)}^{2} + y^{2}] = x^{2} + {(y + 3)}^{2} \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 20 (C)$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C), tâm $I (2; 3),$ bán kính $R = 2 \sqrt{5}$

Ta có $P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i| = |z + i| + 2 |z - 4 + 7 i|,$ với $A (0; - 1), B (4; 7) \Rightarrow P = M A + 2 M B$

Vậy $P = M A + 2 M B \leq \sqrt{(1^{2} + 2^{2}) (M A^{2} + M B^{2})} = \sqrt{5.20} = 10 \to P_{m a x} = 10$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $a, b > 0$ và $a, b \neq 1,$ biểu thức $P = \log_{\sqrt{a}} b^{3} . \log_{b} a^{4}$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 18

B. 24

C. 12

D. 6

Lời giải

Đáp án B

Ta có $P = \log_{a} b^{6} . (4 \log_{b} a) = 6.4. \log_{a} b . \log_{b} a = 24$

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị hàm số $f' (x)$ như trong hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số $f (x)$ đi qua điểm $A (0; 4) .$ Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $f (1) = 2$

B. $f (2) = \frac{11}{2}$

C. $f (1) = \frac{7}{2}$

D. $f (2) = 6$

Lời giải

Đáp án D

Đồ thị hàm số $f (x)$ đi qua $A (0; 4) \Rightarrow f (0) = 4 \Rightarrow \frac{b}{d} = 4 \Leftrightarrow b = 4 d (1)$

Ta có $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d} \Rightarrow f' (x) = \frac{a d - b c}{{(c x + d)}^{2}}, \forall x \neq - \frac{d}{c}$

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

${|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) \Rightarrow {|z_{1} + z_{2}|}^{2} = 3 \Rightarrow |z_{1} + z_{2}| = \sqrt{3}$

+ Đồ thị hàm số $f' (x)$ nhận $x = - 1$ làm tiệm cận đứng $\Rightarrow x = - \frac{d}{c} = - 1 \Rightarrow c = d (2)$

+ Đồ thị hàm số $f' (x)$ nhận điểm $B (0; 3) \Rightarrow f' (0) = 3 \Rightarrow \frac{a d - b c}{d^{2}} = 3 (3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{a d - b c}{d^{2}} = 3 \Leftrightarrow a d = 7 d^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 7 d$

Vậy $f (x) = \frac{7 f (x) + 4 d}{d x + d} = \frac{7 x + 4}{x + 1} \Rightarrow f (2) = \frac{7.2 + 4}{2 + 1} = 6$

Câu 3

Số điểm cực trị của hàm số $y = x^{2017} (x + 1)$

A. 2017

B. 2

C. 1

D. 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{2 x^{2} - 5 x + 2}$ là

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x .$ Tính tích phân $I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x$

A. $I = \frac{1}{2}$

B. $I = \frac{5}{2}$

C. $I = \frac{3}{2}$

D. $I = \frac{7}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho đa giác lồi có 12 đỉnh. Số tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác là

A. 1320

B. 202

C. 220

D. 1230

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số phân biệt sao cho trong mỗi số đều có mặt cả hai chữ số 0 và 2?

A. 3360

B. 3662

C. 3868

D. 3486

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho số phức z thỏa mãn z−1z+3i=12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=z+i+2z¯−4+7i

Cho a,b>0 và a,b≠1, biểu thức P=logab3.logba4 có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho hàm số y=fx=ax+bcx+d có đồ thị hàm số f'x như trong hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số fx đi qua điểm A0;4. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Số điểm cực trị của hàm số y=x2017x+1

Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số y=x2−42x2−5x+2 là

Cho hàm số fx liên tục trên ℝ và fx+2f1x=3x. Tính tích phân I=∫122fxxdx

Cho đa giác lồi có 12 đỉnh. Số tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác là

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số phân biệt sao cho trong mỗi số đều có mặt cả hai chữ số 0 và 2?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức z thỏa mãn $|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}} .$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i|$

Cho $a, b > 0$ và $a, b \neq 1,$ biểu thức $P = \log_{\sqrt{a}} b^{3} . \log_{b} a^{4}$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị hàm số $f' (x)$ như trong hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số $f (x)$ đi qua điểm $A (0; 4) .$ Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Số điểm cực trị của hàm số $y = x^{2017} (x + 1)$

Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{2 x^{2} - 5 x + 2}$ là

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x .$ Tính tích phân $I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x$