Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC=2a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng ${60}^{°}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’A, BC bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Tính thể tích lăng trụ  

Dân số thế giới được ước tính theo công thức $\mathrm{S}=\mathrm{A}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{r}.\mathrm{N}}$ trong đó: A là dân số của năm lấy mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỷ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2001, dân số Việt Nam có khoảng 78.685.000 người và tỷ lệ tăng dân số hằng năm là 1,7% một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi thì đến năm nào dân số nước ta ở mức khoảng 120 triệu người?

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_2=-2$ và $u_5=54$. Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức $\mathrm{S}=\mathrm{A}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r < 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 150 con và sau 5 giờ có 450 con, tìm số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng.

Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3m.Chiều cao SO=6m (SO vuông góc với mặt đáy).Các cạnh bên của (H) là các sợi $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6$ nằm trên các parabol có trục đối xứng song song với SO.Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO và một lục giác đều và khi (P) đi qua trung điểm của SO thì lục giác đều cạnh bằng 1.Tính thể tích không gian bên trong cái lều (H) đó.

 Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3-\frac{1}{2}\left(2m+4\right){\mathrm{x}}^2$$+\left(m^2+4m+3\right)\mathrm{x}+1$ 

(m là tham số). Tìm m để

hàm số đạt cực đại tại $x_0=2$ 

Để hàm số $,\mathrm{y}=\frac{-{\mathrm{x}}^3}{3}+\left(\mathrm{a}-1\right){\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{a}+3\right)\mathrm{x}-4$ đồng biến trên khoảng $\left(0;3\right)$ thì giá trị cần tìm của tham số a là:

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$ và $\sin \left(\alpha +\mathrm{\pi }\right)=-\frac{1}{3}$Tính $\tan \left(\frac{7\mathrm{\pi }}{2}-\alpha \right)$.