Phương trình $\sqrt{{\left(3-x\right)}^2\left(5-3x\right)}+x=\sqrt{3x-5}$ có bao nhiêu nghiệm?

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện $x\ne 1$

Với điều kiện trên phương trình tương đương $x^2-x+1=2x-1$⇔ x = 1 hoặc x = 2

$$\begin{gathered} x+\frac{1}{x-1}=\frac{2x-1}{x-1} \\ \iff \frac{x\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{2x-1}{x-1} \\ \iff x\left(x-1\right)+1=2x-1 \\ \iff x^2-x+1=2x-1 \\ \iff x^2-3x+2=0 \\ \iff \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0 \\ \iff x=1 ( loại) hoặc x =2 ( thỏa mãn) \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}{\left(x-3\right)}^2\left(5-3x\right)\ge 0\\ 3x-5\ge 0\end{array}\right.$(*)

Ta thấy $x=3$ thỏa mãn điều kiện (∗).

Nếu $x\ne 3$ thì $\left(*\right)\iff \left\{\begin{array}{c}5-3x\ge 0\\ 3x-5\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\le \frac{5}{3}\\ x\ge \frac{5}{3}\end{array}\right.\iff x=\frac{5}{3}$

Do đó điều kiện xác định của phương trình là $x=3$ hoặc $x=\frac{5}{3}$.

Thay $x=3$ vào phương trình, ta được:

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(3-3\right)}^2\left(5-3.3\right)}+2.3=\sqrt{3.3-5}+4 \\ \iff 0+6=2+4 \\ \iff 6 = 6 ( luôn đúng) \end{gathered}$$

Suy ra x = 3 là nghiệm của phương trình

 Thay $x=\frac{5}{3}$vào phương trình, ta được:

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(\frac{5}{3}-3\right)}^2\left(5-3.\frac{5}{3}\right)}+2.\frac{5}{3}=\sqrt{3.\frac{5}{3}-5}+4 \\ \iff 0+\frac{10}{3}=0+4 \\ \iff \frac{10}{3} = 4 ( Vô lý) \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 4.

Đáp án cần chọn là: B.