Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng $\left(-2019;2019\right)$ để phương trình:

$2{\left(x^2+2x\right)}^2-\left(4m-3\right)\left(x^2+2x\right)+1-2m=0$ có 2 nghiệm thuộc $\left[-3;0\right]$

Ta có: 

$$\begin{gathered} \sqrt{3x^2+6x+3}=2x+1\iff \sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)}=2x+1 \\ \iff \sqrt{3{\left(x+1\right)}^2}=2x+1\iff \sqrt{3}.\left|x+1\right|=2x+1 \left(1\right) \end{gathered}$$

Do vế trái luôn không âm nên điều kiện vế phải là $2x+1\ge 0$ hay $x\ge \frac{-1}{2}$ 

Khi đó,  $\left|x+1\right|=x+1$ và phương trình (1) trở thành:

$$\begin{gathered} \sqrt{3}\left(x+1\right)=2x+1\iff \left(\sqrt{3}-2\right)x=1-\sqrt{3} \\ \iff x=\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=1+\sqrt{3} \end{gathered}$$

Vậy phương  trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x=1+\sqrt{3}$

Chọn C.

Đặt $t=x^2+2x+4={\left(x+1\right)}^2+3\ge 3$, phương trình trở thành

$t^2-2mt+4m-1=0 \left(2\right)$

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm $t>3$ của phương trình (2) cho ta hai nghiệm của phương trình (1). Do đó phương trình (1) có đúng hai nghiệm khi phương trình (2) có đúng một nghiệm $t>3$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=0\\ x=-\frac{b}{2a}>3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ af\left(3\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+1=0\\ m>3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+1>0\\ 1.\left(3^2-2m.3+4m-1\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ TH1: \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+1=0\\ m>3\end{array}\right. \\ {m}^2-4m+1=0 \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{c}m=2+\sqrt{3}( thỏa mãn)\\ m=2-\sqrt{3}\left(loại\right) \end{array}\right.$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}{m}^2-m+1>0\\ 3^2-2m.3+4m-1<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>2+\sqrt{3} hoặc m<2-\sqrt{3}\\ 8-2m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>2+\sqrt{3} hoặc m<2-\sqrt{3}\\ m>4\end{array}\right.\iff m>4$

Vậy với $m = 2+\sqrt{3}$ hoặc m>4 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D