Câu hỏi:

08/09/2020 11,320

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng $60 °$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN là:

A. $\frac{4 a \sqrt{39}}{13}$

B. $\frac{3 a \sqrt{39}}{13}$

C. $\frac{a \sqrt{39}}{13}$

D. $\frac{2 a \sqrt{39}}{13}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 15 câu Khoảng cách có đáp án !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+ Ta có $\begin{array}{l} (S A B) ⊥ (A B C) \\ (S A C) ⊥ (A B C) \\ (S A C) \cap (S A B) = S A \end{array}\} \Rightarrow S A ⊥ (A B C)$

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N $\Rightarrow$ N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là $\hat{S B A} = 60 °$

$\Rightarrow$ SA = AB.tan $60 °$ = 2a $\sqrt{3}$

AC = $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 2 a \sqrt{2}$

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị $\vec{IJ}$ qua ba vectơ không cùng phương $\vec{A B}; \vec{A C}; \vec{A S} .$

$\begin{array}{l} \vec{I J} = \vec{I A} + \vec{A N} + \vec{N J} \\ = m \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + p \vec{N S} \\ = m \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + p (\vec{N A} + \vec{A S}) \\ = m \vec{A B} + \frac{1 - p}{2} \vec{A C} + p \vec{A S} \end{array}$

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{I J} ⊥ \vec{A B} \\ \vec{I J} ⊥ \vec{N S} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{I J} . \vec{A B} = 0 \\ \vec{I J} . \vec{N S} = 0 \end{cases}$

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: $\vec{I J} = - \frac{6}{13} \vec{A B} + \frac{6}{13} \vec{A C} + \frac{1}{13} \vec{A S}$ . Suy ra

$169 I J^{2} = 36 A C^{2} + 36 A B^{2} + A S^{2} - 72 \vec{A B} . \vec{A C}$ .

Thay số vào ta tính được IJ = $\frac{2 a \sqrt{39}}{13}$ .

Vậy d(AB; SN) = $\frac{2 a \sqrt{39}}{13}$ .

Đáp án D

Bình luận

Câu 1:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Xem đáp án » 08/09/2020 23,285

Câu 2:

Cho khối lập phương ABCDA’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là :

A. AA’

B. BB'

C. DA’

D. DD’

Xem đáp án » 08/09/2020 15,887

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a $\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD).

A. $\frac{3 a \sqrt{21}}{7}$

B. $\frac{a \sqrt{21}}{7}$

C. $\frac{2 a \sqrt{21}}{7}$

D. $\frac{4 a \sqrt{21}}{7}$

Xem đáp án » 03/02/2021 13,879

Câu 4:

Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.
Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2a.

A. $\frac{a \sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{5}}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{5}}{3}$

D. $a \sqrt{5}$

Xem đáp án » 03/02/2021 9,348

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SBC) vuông góc với đáy (ABC). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).

A. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{3 a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án » 04/02/2021 9,022

Câu 6:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mặt phẳng (P).

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Xem đáp án » 08/09/2020 8,674

Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025

Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025

Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack