Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\left|z-1-i\right|+\left|z+1+3i\right|=6\sqrt{5}$. Giá trị lớn nhất của $\left|z-2-3i\right|$là

Đáp án D

Phương pháp:

- Biểu diễn số phức và giải bài toán tìm GTLN trên mặt phẳng tọa độ.

Cách giải: Gọi I(1;1), J$\left(-1;-3\right)$, A(2;3)

Xét số phức z = x + yi, (x,y$\in$R), có điểm  biểu diễn là M(x;y)

 (1)

 => M di chuyển trên đường elip có tiêu điểm I và  J, độ dài trục lớn là $3\sqrt{5}$

Tìm giá trị lớn nhất của $\left|z-2-3i\right|$ tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip

Ta có: $\overrightarrow{IA}=(1;2),\overrightarrow{JA}=\left(3;6\right)$ => $\overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{IA}$,điểm A nằm trên trục lớn của elip.

=>AM đạt độ  dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I.

Gọi S là trung điểm của IJ => S(0;$-$1)

Độ dài đoạn AB = SA + SB

Mà $\overrightarrow{AS}=\left(-2;-4\right)$ => AS = $2\sqrt{5}$, SB = $\frac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}$ => AB = $5\sqrt{5}$

Vậy ${\left|z-2-3i\right|}_{max}=5\sqrt{5}$