Tính các tổng sau

a, $A=1+5^3+5^5+5^7+...+5^{99}$

b, $A=1-2+2^2-...-2^{2007}$

c, $A=7+7^3+7^5+7^7+...+7^{1999}$

a, $A=1+5^3+5^5+5^7+...+5^{99}$

$B=5^4+5^6+5^8+...+5^{100}$ = $5.(5^3+5^5+5^7+...+5^{99})$ = 5(A – 1)

A + B – 1 = $5^3+5^4+...+5^{100}$

5(A + B – 1) = $5^4+5^5+...+5^{100}+5^{101}$

4(A + B – 1) = 5(A + B – 1) – (A + B – 1) = $5^{101}-5^3$

=> A + B – 1 = $\frac{5^{101}-5^3}{4}$

=> A + 5(A – 1) –1 = $\frac{5^{101}-5^3}{4}$ => 6A – 6 = $\frac{5^{101}-5^3}{4}$

=> A – 1 = $\frac{5^{101}-5^3}{24}$

=> A = $\frac{5^{101}-5^3+24}{24}$

b, $A=1-2+2^2-...-2^{2007}$

$A=1+2^2+...+2^{2006}-\left(2+2^3+...+2^{2007}\right)$

$A=(1+2^2+...+2^{2006})-2.\left(1+2^2+...+2^{2006}\right)$

$A=-\left(1+2^2+...+2^{2006}\right)$

Đặt $B=-\left(2+2^3+...+2^{2007}\right)$ = $-2.\left(1+2^2+...+2^{2006}\right)$ = 2A

A + B = $-\left(1+2+2^2+...+2^{2006}+2^{2007}\right)$

2(A+B) = $-\left(2+2^2+...+2^{2006}+2^{2007}+2^{2008}\right)$

A+B = 2(A+B)–(A+B) = $-\left(2^{2008}-1\right)$

=> A+2A = $-\left(2^{2008}-1\right)$

=> 3A = $-\left(2^{2008}-1\right)$

=> A = $\frac{-(2^{2008}-1)}{3}$

c, $A=7+7^3+7^5+7^7+...+7^{1999}$

Đặt B = $7^2+7^4+7^6+...+7^{1999}+7^{2000}$ = $7(7+7^3+7^5+7^7+...+7^{1999})$ = 7A

A+B = $7+7^2+7^3+...+7^{1999}+7^{2000}$

7(A+B) = $7^2+7^3+...+7^{1999}+7^{2000}+7^{2001}$

7(A+B) – (A+B) = $(7^2+7^3+...+7^{1999}+7^{2000}+7^{2001})$ – $(7+7^2+7^3+...+7^{1999}+7^{2000})$

6(A+B) = $7^{2001}-7$

A+B = $\frac{7^{2001}-7}{6}$

=> A + 7A = $\frac{7^{2001}-7}{6}$ => 8A = $\frac{7^{2001}-7}{6}$ => A = $\frac{7^{2001}-7}{48}$