Giải phương trình trên tập số nguyên $x^{2015}=\sqrt{y(y+1)(y+2)(y+3)}+1$ (1)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh AH = 2OM

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{y}=x^2+xy-2y^2\left(1\right)\\ \left(\sqrt{x+3}-\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{x^2+3x}\right)=3\left(2\right)\end{array}\right.$

Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2=0$  (1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn ${(x_1-m)}^2+x_2=m+2$ 

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC

c) Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn (O) (N khác A). Gọi D là điểm bất kì trên cung nhỏ NC của đường tròn tâm (O) (D khác N và C). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của AC và HE. Chứng minh rằng ACH = ADK.

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC

b) Dựng hình bình hành AHIO. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng OI. OJ = R²

Cho $P=\left(\frac{1}{a-1}+\frac{3\sqrt{a}+5}{a\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+1}\right)\left[\frac{{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2}{4\sqrt{a}}\right](a>0,a\ne 1)$

a) Rút gọn P

b) Đặt $Q=(a-\sqrt{a}+1)P.$ Chứng minh Q > 1

Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+2a}+\frac{1}{b^2+2b}+\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}$