Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC

c) Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn (O) (N khác A). Gọi D là điểm bất kì trên cung nhỏ NC của đường tròn tâm (O) (D khác N và C). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của AC và HE. Chứng minh rằng ACH = ADK.

Phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x_{2$\iff \Delta \text{'}={(m+1)}^2-m^2\ge 0\iff 2m+1\ge 0\iff m\ge -\frac{1}{2}$} 

Theo định lý Viét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+2\\ x_1{x}_2=m^2\end{array}\right.$ 

Có $\left(2\right)\iff x_1^2-2x_{1}m+m^2+x_2=m+2\iff x_1(x_1-2m)+m^2+x_2=m+2$ 

Thay $x_1-2m=2-x_2;m^2=x_1{x}_2$ vào ta có$x_1(2-x_2)+x_1{x}_2+x_2=m+2\iff 2x_1+x_2=m+2$ 

Ta có hệ$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+2\\ 2x_1+x_2=m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=-m\\ x_2=3m+2\end{array}\right.\Rightarrow m^2=x_1{x}_2=-m(3m+2) \\ \Rightarrow 4m^2+2m=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$ (thỏa mãn)

+ Với m = 0: $\left(1\right)\iff x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=2\end{array}\right.$ (thỏa mãn đề bài)

+ Với $m=-\frac{1}{2}:\left(1\right)\iff x^2-x+\frac{1}{4}=0\iff x_1=x_2=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn đề bài)

Vậy m = 0 hoặc m = -1/2 là tất cả các giá trị m cần tìm.

a) Gọi F là điểm đối xứng với A qua O ⇒ AF là đường kính của (O)

Ta có ACF = ABF = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC ⊥ CF , AB ⊥ BF

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ CF // BH, BF // HC

Suy ra BHCF là hình bình hành ⇒ Trung điểm M của BC cũng là trung điểm của HF.

⇒ OM là đường trung bình của ∆ AHF ⇒ AH = 2OM