Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC

a) Chứng minh AH = 2OM

Phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x_{2$\iff \Delta \text{'}={(m+1)}^2-m^2\ge 0\iff 2m+1\ge 0\iff m\ge -\frac{1}{2}$} 

Theo định lý Viét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+2\\ x_1{x}_2=m^2\end{array}\right.$ 

Có $\left(2\right)\iff x_1^2-2x_{1}m+m^2+x_2=m+2\iff x_1(x_1-2m)+m^2+x_2=m+2$ 

Thay $x_1-2m=2-x_2;m^2=x_1{x}_2$ vào ta có$x_1(2-x_2)+x_1{x}_2+x_2=m+2\iff 2x_1+x_2=m+2$ 

Ta có hệ$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+2\\ 2x_1+x_2=m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=-m\\ x_2=3m+2\end{array}\right.\Rightarrow m^2=x_1{x}_2=-m(3m+2) \\ \Rightarrow 4m^2+2m=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$ (thỏa mãn)

+ Với m = 0: $\left(1\right)\iff x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=2\end{array}\right.$ (thỏa mãn đề bài)

+ Với $m=-\frac{1}{2}:\left(1\right)\iff x^2-x+\frac{1}{4}=0\iff x_1=x_2=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn đề bài)

Vậy m = 0 hoặc m = -1/2 là tất cả các giá trị m cần tìm.

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{y}=x^2+xy-2y^2\left(1\right)\\ \left(\sqrt{x+3}-\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{x^2+3x}\right)=3\left(2\right)\end{array}\right.$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ x+3\ge 0\\ x^2+3x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff \frac{y-x}{y\sqrt{x}}=(x-y)(x+2y)\iff (x-y)\left(x+2y+\frac{1}{y\sqrt{x}}\right)=0\iff x=y$ do $x+2y+\frac{1}{y\sqrt{x}}>0,\forall x,y>0$

Thay y = x vào phương trình (2) ta được:

$\begin{array}{l}(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(1+\sqrt{x^2+3x})=3\iff 1+\sqrt{x^2+3x}=\frac{3}{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}\\ \iff 1+\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\iff \sqrt{x+3}.\sqrt{x}-\sqrt{x+3}-\sqrt{x}+1=0\\ \iff (\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x}-1)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{x+3}=1\\ \sqrt{x}=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\left(L\right)\\ x=1\left(tm\right)\end{array}\right.\Rightarrow x=y=1\end{array}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1)