Câu hỏi:

11/07/2024 491

Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{a^{2} + 2 a} + \frac{1}{b^{2} + 2 b} + \sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})}$

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có $\sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq 1 + a b = 1 + a + b$ (1)

Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (x + y) \geq 2 \sqrt{\frac{1}{x} . \frac{1}{y}} .2 \sqrt{x y} = 4 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ (2)

Áp dụng (1) và (2) ta có:

$\begin{array}{l} P \geq \frac{4}{a^{2} + 2 a + b^{2} + 2 b} + 1 + a + b = \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2 a b} + 1 + a + b \\ = \frac{4}{{(a + b)}^{2}} + \frac{a + b}{8} + \frac{7 (a + b)}{8} + 1 \end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

$a + b = a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \Rightarrow {(a + b)}^{2} \geq 4 (a + b) \Rightarrow a + b \geq 4$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

$\frac{4}{{(a + b)}^{2}} + \frac{a + b}{16} + \frac{a + b}{16} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{4}{{(a + b)}^{2}} . \frac{a + b}{16} . \frac{a + b}{16}} = \frac{3}{4} \Rightarrow P \geq \frac{3}{4} + \frac{7}{8} .4 + 1 = \frac{21}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4

NHÀ SÁCH VIETJACK

Xem Thêm Kho Sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

Đã bán 152

₫40.000 - ₫130.000 ₫40.000 - ₫60.000

Hà Nội

Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Đã bán 114

₫300.000 - ₫600.000 ₫150.000- ₫195.000

Hà Nội

(Chương trình mới) - Sách lớp 10, 11 Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa 3 bộ sách KNTT, CTST, CD

Đã bán 132

₫85.000-₫114.000

Hà Nội

Sách - Trọng tâm kiến thức lớp 6,7,8 dùng cho 3 sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack

Đã bán 47

₫170.000 - ₫360.000 ₫80.000 - ₫136.000

Hà Nội

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh AH = 2OM

Xem đáp án » 13/07/2024 5,901

Câu 2:

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} = 0$ (1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn ${(x_{1} - m)}^{2} + x_{2} = m + 2$

Xem đáp án » 13/07/2024 5,843

Câu 3:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{y} = x^{2} + x y - 2 y^{2} (1) \\ (\sqrt{x + 3} - \sqrt{y}) (1 + \sqrt{x^{2} + 3 x}) = 3 (2) \end{cases}$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,647

Câu 4:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
c) Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn (O) (N khác A). Gọi D là điểm bất kì trên cung nhỏ NC của đường tròn tâm (O) (D khác N và C). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của AC và HE. Chứng minh rằng ACH = ADK.

Xem đáp án » 11/07/2024 758

Câu 5:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
b) Dựng hình bình hành AHIO. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng OI. OJ = R²

Xem đáp án » 13/07/2024 735

Câu 6:

Cho $P = (\frac{1}{a - 1} + \frac{3 \sqrt{a} + 5}{a \sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}) [\frac{{(\sqrt{a} + 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}}] (a > 0, a \neq 1)$
a) Rút gọn P
b) Đặt $Q = (a - \sqrt{a} + 1) P .$ Chứng minh Q > 1

Xem đáp án » 13/07/2024 621

Câu 7:

Giải phương trình trên tập số nguyên $x^{2015} = \sqrt{y (y + 1) (y + 2) (y + 3)} + 1$ (1)

Xem đáp án » 13/07/2024 503

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký thi VIP

vip1 ( 250,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện 1 môn của 1 lớp

Được thi tất cả đề của môn bạn đăng ký có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi đáp với đội ngũ chuyên môn với những vấn đề chưa nắm rõ của môn bạn đang quan tâm.

Lớp đăng ký:

Môn đăng ký:

Đặt mua

vip2 ( 500,000 VNĐ )

VIP 2 - Combo tất cả các môn của 1 lớp

Được thi tất cả đề của tất cả các môn (Toán, Lí, Hóa, Anh, Văn,...) trong lớp bạn đăng ký có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi đáp với đội ngũ chuyên môn với tất cả những vấn đề chưa nắm rõ.
Ẩn tất cả các quảng cáo trên Website

Lớp đăng ký:

Đặt mua

vip3 ( 750,000 VNĐ )

VIP 3 - Combo tất cả các môn tất cả các lớp

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi đáp với đội ngũ chuyên môn với tất cả những vấn đề chưa nắm rõ.
Ẩn tất cả các quảng cáo trên Website

Bạn sẽ được luyện tất cả các môn của tất cả các lớp.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Xem thêm »

Giải Sách Bài Tập Toán 9 Tập 1

35 đề 48,642 lượt thi Thi thử
Toán 9 Tập 1 - phần Đại số

29 đề 36,576 lượt thi Thi thử
Giải Sách Bài Tập Toán 9 Tập 2

35 đề 35,878 lượt thi Thi thử
Toán 9 Tập 2 - phần Đại số

29 đề 30,245 lượt thi Thi thử
Giải Toán 9 phần Hình học Tập 2

28 đề 27,837 lượt thi Thi thử
Giải Toán 9 phần Hình học Tập 1

26 đề 24,732 lượt thi Thi thử
19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải

20 đề 22,256 lượt thi Thi thử
Bộ Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án

20 đề 18,699 lượt thi Thi thử
Bài tập ôn tập chương 3 hình học 9 có đáp án

12 đề 13,188 lượt thi Thi thử
Bài tập ôn tập chương 3 đại số 9 có đáp án

8 đề 8,601 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Gọi 084 283 45 85

Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack

Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1a2+2a+1b2+2b+1+a21+b2

NHÀ SÁCH VIETJACK

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BCa) Chứng minh AH = 2OM

Cho phương trình x2−2(m+1)x+m2=0 (1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn (x1−m)2+x2=m+2

Giải hệ phương trình 1x−xy=x2+xy−2y2(1)x+3−y1+x2+3x=3(2)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BCb) Dựng hình bình hành AHIO. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng OI. OJ = R2

Cho P=1a−1+3a+5aa−a−a+1a+124a(a>0,a≠1)a) Rút gọn Pb) Đặt Q=(a−a+1)P. Chứng minh Q > 1

Giải phương trình trên tập số nguyên x2015=y(y+1)(y+2)(y+3)+1 (1)

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!

Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{a^{2} + 2 a} + \frac{1}{b^{2} + 2 b} + \sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})}$

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh AH = 2OM

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} = 0$ (1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn ${(x_{1} - m)}^{2} + x_{2} = m + 2$

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{y} = x^{2} + x y - 2 y^{2} (1) \\ (\sqrt{x + 3} - \sqrt{y}) (1 + \sqrt{x^{2} + 3 x}) = 3 (2) \end{cases}$

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
b) Dựng hình bình hành AHIO. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng OI. OJ = R²

Cho $P = (\frac{1}{a - 1} + \frac{3 \sqrt{a} + 5}{a \sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}) [\frac{{(\sqrt{a} + 1)}^{2}}{4 \sqrt{a}}] (a > 0, a \neq 1)$
a) Rút gọn P
b) Đặt $Q = (a - \sqrt{a} + 1) P .$ Chứng minh Q > 1

Giải phương trình trên tập số nguyên $x^{2015} = \sqrt{y (y + 1) (y + 2) (y + 3)} + 1$ (1)