Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{a^{2} + 2 a} + \frac{1}{b^{2} + 2 b} + \sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có $\sqrt{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq 1 + a b = 1 + a + b$ (1)

Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (x + y) \geq 2 \sqrt{\frac{1}{x} . \frac{1}{y}} .2 \sqrt{x y} = 4 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ (2)

Áp dụng (1) và (2) ta có:

$\begin{array}{l} P \geq \frac{4}{a^{2} + 2 a + b^{2} + 2 b} + 1 + a + b = \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2 a b} + 1 + a + b \\ = \frac{4}{{(a + b)}^{2}} + \frac{a + b}{8} + \frac{7 (a + b)}{8} + 1 \end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

$a + b = a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \Rightarrow {(a + b)}^{2} \geq 4 (a + b) \Rightarrow a + b \geq 4$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

$\frac{4}{{(a + b)}^{2}} + \frac{a + b}{16} + \frac{a + b}{16} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{4}{{(a + b)}^{2}} . \frac{a + b}{16} . \frac{a + b}{16}} = \frac{3}{4} \Rightarrow P \geq \frac{3}{4} + \frac{7}{8} .4 + 1 = \frac{21}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} = 0$ (1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn ${(x_{1} - m)}^{2} + x_{2} = m + 2$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x_{2 $\Leftrightarrow Δ' = {(m + 1)}^{2} - m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 2 m + 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{2}$}

Theo định lý Viét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ x_{1} x_{2} = m^{2} \end{cases}$

Có $(2) \Leftrightarrow x_{1}^{2} - 2 x_{1} m + m^{2} + x_{2} = m + 2 \Leftrightarrow x_{1} (x_{1} - 2 m) + m^{2} + x_{2} = m + 2$

Thay $x_{1} - 2 m = 2 - x_{2}; m^{2} = x_{1} x_{2}$ vào ta có $x_{1} (2 - x_{2}) + x_{1} x_{2} + x_{2} = m + 2 \Leftrightarrow 2 x_{1} + x_{2} = m + 2$

Ta có hệ $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \\ 2 x_{1} + x_{2} = m + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = - m \\ x_{2} = 3 m + 2 \end{cases} \Rightarrow m^{2} = x_{1} x_{2} = - m (3 m + 2) \Rightarrow 4 m^{2} + 2 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - \frac{1}{2} \end{array}$ (thỏa mãn)

+ Với m = 0: $(1) \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 0 \\ x_{2} = 2 \end{array}$ (thỏa mãn đề bài)

+ Với $m = - \frac{1}{2} : (1) \Leftrightarrow x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn đề bài)

Vậy m = 0 hoặc m = -1/2 là tất cả các giá trị m cần tìm.

Câu 2

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC
a) Chứng minh AH = 2OM

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi F là điểm đối xứng với A qua O ⇒ AF là đường kính của (O)

Ta có ACF = ABF = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC ⊥ CF , AB ⊥ BF

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ CF // BH, BF // HC

Suy ra BHCF là hình bình hành ⇒ Trung điểm M của BC cũng là trung điểm của HF.

⇒ OM là đường trung bình của ∆ AHF ⇒ AH = 2OM

Câu 3