Cho biểu thức P=1+a1+a−1−a+1−a1−a2−1+a1a2−1−1a với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1

Với 0 < a < 1 ta có:P=1+a1+a−1−a+1−a21−a1+a−1−a21−a2a2−1a=1+a1+a−1−a+1−a21−a1+a−1−a(1−a)(1+a)a2−1a=1+a1+a−1−a+1−a1+a−1−a1−a.1+aa2−1a=1+a+1−a1+a−1−a.21−a.1+a−(1−a)−(1+a)2a=1+a+1−a1+a−1−a.−1+a−1−a22a=−1+a+1−a1+a−1−a2a=−1+a−1+a2a=−2a2a=−1

Câu hỏi:

13/07/2024 3,442

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{1 - a}{\sqrt{1 - a^{2}} - 1 + a}) (\sqrt{\frac{1}{a^{2}} - 1} - \frac{1}{a})$ với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Với 0 < a < 1 ta có:

$\begin{array}{l} P = [\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{{(\sqrt{1 - a})}^{2}}{\sqrt{(1 - a) (1 + a)} - {(\sqrt{1 - a})}^{2}}] (\sqrt{\frac{1 - a^{2}}{a^{2}}} - \frac{1}{a}) \\ = [\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{{(\sqrt{1 - a})}^{2}}{\sqrt{1 - a} (\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a})}] [\sqrt{\frac{(1 - a) (1 + a)}{a^{2}}} - \frac{1}{a}] \\ = [\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{\sqrt{1 - a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}}] (\frac{\sqrt{1 - a} . \sqrt{1 + a}}{a^{2}} - \frac{1}{a}) \\ = \frac{\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} . \frac{2 \sqrt{1 - a} . \sqrt{1 + a} - (1 - a) - (1 + a)}{2 a} \\ = \frac{\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} . \frac{- {(\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a})}^{2}}{2 a} \\ = - \frac{(\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 - a}) (\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a})}{2 a} \\ = - \frac{1 + a - 1 + a}{2 a} = - \frac{2 a}{2 a} = - 1 \end{array}$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.
b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y₁, y₂ là tung độ của A, B. Tìm m sao cho $| y_{1}^{2} - y_{2}^{2} | = 3 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Lời giải

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): $- x^{2} = 2 m x - 1 \Leftrightarrow x^{2} + 2 m x - 1 = 0$

Phương trình (*) có ∆’ = m² + 1 > 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Áp dụng Viét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 m \\ x_{1} x_{2} = - 1 \end{cases} \Rightarrow | x_{1} - x_{2} | = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}} = \sqrt{4 m^{2} + 4} = 2 \sqrt{m^{2} + 1}$

Khi đó ta có

$\{\begin{cases} y_{1} = 2 m x_{1} - 1 \\ y_{2} = 2 m x_{2} - 1 \end{cases} \Rightarrow | y_{1}^{2} - y_{2}^{2} | = | {(2 m x_{1} - 1)}^{2} - {(2 m x_{2} - 1)}^{2} | \begin{array}{l} \Rightarrow | y_{1}^{2} - y_{2}^{2} | = | (2 m x_{1} - 1 - 2 m x_{2} + 1) (2 m x_{1} - 1 + 2 m x_{2} - 1) | = | 4 m (x_{1} - x_{2}) [m (x_{1} + x_{2}) - 1] | \\ = | 4 m (2 m^{2} + 1) (x_{1} - x_{2}) | = 4 |m (2 m^{2} + 1)| | x_{1} - x_{2} | = 4 | m | (2 m^{2} + 1) 2 \sqrt{m^{2} + 1} \end{array}$ Ta có: $| y_{1}^{2} - y_{2}^{2} | = 3 \sqrt{5} \Leftrightarrow 64 m^{2} {(2 m^{2} + 1)}^{2} (m^{2} + 1) = 45 \Leftrightarrow 64 (4 m^{4} + 4 m^{2} + 1) (m^{4} + m^{2}) = 45$

Đặt: $m^{4} + m^{2} = t \geq 0$ có phương trình $64 t (4 t + 1) = 45 \Leftrightarrow 256 t^{2} + 64 t - 45 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{16} (v ì t \geq 0) \Rightarrow m^{4} + m^{2} = \frac{5}{16} \Leftrightarrow 16 m^{4} + 16 m^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}$

Vậy $m = \pm \frac{1}{2}$

Câu 2

Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên 1/4 quãng đường AB sau bằng 1/2 vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi vận tốc của người đi xe máy trên 3/4 quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0)

Vận tốc của người đi xe máy trên 1/4 quãng đường AB sau là 0,5x (km/h)

Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h)

Tổng thời gian của chuyến đi là $\frac{90}{x} + \frac{30}{0, 5 x} + \frac{120}{x + 10} + \frac{1}{2} = 8, 5$

$\Leftrightarrow \frac{90}{x} + \frac{60}{x} + \frac{120}{x + 10} = 8 \Leftrightarrow \frac{150}{x} + \frac{120}{x + 10} = 8 \Leftrightarrow 75 (x + 10) + 60 x = 4 x (x + 10) \Leftrightarrow 4 x^{2} - 95 x - 750 = 0 \Leftrightarrow x = 30 (d o x > 0)$

Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h)

Câu 3

Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.
b) Chứng minh $\sqrt{C P . C B} + \sqrt{D P . D A} = A B$
c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng $\sqrt{5 a + 4} + \sqrt{5 b + 4} + \sqrt{5 c + 4} \geq 7$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{1 + a}}{\sqrt{1 + a} - \sqrt{1 - a}} + \frac{1 - a}{\sqrt{1 - a^{2}} - 1 + a}) (\sqrt{\frac{1}{a^{2}} - 1} - \frac{1}{a})$ với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1

Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.
b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y₁, y₂ là tung độ của A, B. Tìm m sao cho $| y_{1}^{2} - y_{2}^{2} | = 3 \sqrt{5}$

Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1

Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng $\sqrt{5 a + 4} + \sqrt{5 b + 4} + \sqrt{5 c + 4} \geq 7$