Cho hai đường thẳng:

$$\begin{gathered} \left({\mathrm{d}}_1\right):{\mathrm{a}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{b}}_1\mathrm{y}+{\mathrm{c}}_1=0\left({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{b}}_1\ne 0\right) \\ \left({\mathrm{d}}_2\right):{\mathrm{a}}_2\mathrm{x}+{\mathrm{b}}_2\mathrm{y}+{\mathrm{c}}_2=0\left({\mathrm{a}}_2,{\mathrm{b}}_2\ne 0\right) \end{gathered}$$

Chứng minh rằng:

1. ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$ cắt nhau khi $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$

2. ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$ song song với nhau khi $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}\ne \frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$

3. ${\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2$ trùng nhau khi $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$

a. Xét phương trình 5x + 4y = 8

- Với cặp số (-2;1). Ta có 5(-2) + 4.1 = -6 $\ne$8.

Do đó cặp số (-2;1) không là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (0;2). Ta có 0 + 4.2 = 8.

Do đó cặp số (0;2) là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (-1;0). Ta có (-1) + 4.0 = -5 $\ne$8.

Do đó cặp số (-1;0) không là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (1,5;3). Ta có 1,5 + 4.3 = 19,5 $\ne$8.

Do đó cặp số (1,5;3) không là nghiệm của phương trình.

- Với cặp số (4;-3). Ta có 4 + 4.(-3) = 8.

Do đó cặp số (4;-3) là nghiệm của phương trình.

b. Xét phương trình 3x + 5y = -3

- Các cặp (-1;0); (4;-3) là nghiệm của phương trình.

- Các cặp (-2;1); (0;2); (1,5;3) không là nghiệm của phương trình.

a) Biến đổi phương trình về dạng x = 3y + 4
Nhận xét rằng, với mọi y$\in \mathrm{Z}$, ta luôn có x = 3y + 4$\in \mathrm{Z}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (3y +4;y) với y$\in \mathrm{Z}$
b) Biến đổi phương trình về dạng y = -3x + 6
Nhận xét rằng, với mọi x$\in \mathrm{Z}$, ta luôn có y = -3x + 6$\in \mathrm{Z}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (x;-3x + 6) với x$\in \mathrm{Z}$
c) Biến đổi phương trình về dạng 4x = 5y + 8 <=> x = y + 2 + $\frac{\mathrm{y}}{4}$ (1)

Đặt k = $\frac{\mathrm{y}}{4}$, k$\in \mathrm{Z}$ <=> y = 4k, k$\in \mathrm{Z}$
Thay y = 4k vào (1) ta được x = 4k + 2 + k = 5k + 2$\in \mathrm{Z}$, k$\in \mathrm{Z}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên thỏa mãn (5k +2;4k) với kZ