Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=1 \left(1\right)\\ \mathrm{mx}+2\mathrm{y}=\mathrm{m}\left(2\right)\end{array}\right.$

a) Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.

a) Do (1;-2) là nghiệm của hệ phương trình nên:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2-2\mathrm{b}=-4\\ \mathrm{b}+2\mathrm{a}=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{b}+2\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{a}=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với a = - 4 và b = 3 thỏa mãn bài toán.

b) Do là nghiệm của hệ phương trình nên

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2\left(\sqrt{2}-1\right)+\sqrt{2}\mathrm{b}=-4\\ \left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{b}+\sqrt{2}\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\sqrt{2}\mathrm{b}=-2-2\sqrt{2}\\ \left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{b}-\sqrt{2}\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=-2-\sqrt{2}\\ \mathrm{a}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=-2-\sqrt{2}\\ \mathrm{a}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}\end{array}\right.$ thỏa mãn đề bài.

Để thỏa mãn bài toán khi và chỉ khi hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{mx}-1=0\\ {\mathrm{mx}}^2-\mathrm{x}+2=0\end{array}\right.$ (*)

Có nghiệm

Đặt $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$, điều kiện $\mathrm{y}\ge 0$

Khi đó hệ phương trình (*) trở thành $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{mx}+2\mathrm{y}-1=0\left(1\right)\\ -\mathrm{x}+\mathrm{my}+2=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (2) suy ra $\mathrm{x}=\mathrm{my}+2\left(3\right)$. Thay vào phương trình (1) ta có:

Thay $\mathrm{y}=\frac{1-2\mathrm{m}}{{\mathrm{m}}^2+2}$ vào (3) ta có

So sánh với điều kiện suy ra $1-2\mathrm{m}\ge 0\iff \mathrm{m}\le \frac{1}{2}$

Do $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$ nên ${\left(\frac{\mathrm{m}+4}{{\mathrm{m}}^2+2}\right)}^2=\frac{1-2\mathrm{m}}{{\mathrm{m}}^2+2}$ $\iff {\left(\mathrm{m}+4\right)}^2=\left(1-2\mathrm{m}\right)\left({\mathrm{m}}^2+2\right)$

Do ${\mathrm{m}}^2-\mathrm{m}+1={\left(\mathrm{m}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall \mathrm{m}$ nên (3) $\iff \mathrm{m}+1=0\iff \mathrm{m}=-1$ 

So sánh với điều kiện thỏa mãn.

Vậy m = -1 hai phương trình có nghiệm chung.