Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=1 \left(1\right)\\ \mathrm{mx}+2\mathrm{y}=\mathrm{m}\left(2\right)\end{array}\right.$

a) Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.

a) Do (1;-2) là nghiệm của hệ phương trình nên:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2-2\mathrm{b}=-4\\ \mathrm{b}+2\mathrm{a}=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{b}+2\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{a}=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với a = - 4 và b = 3 thỏa mãn bài toán.

b) Do là nghiệm của hệ phương trình nên

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2\left(\sqrt{2}-1\right)+\sqrt{2}\mathrm{b}=-4\\ \left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{b}+\sqrt{2}\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\sqrt{2}\mathrm{b}=-2-2\sqrt{2}\\ \left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{b}-\sqrt{2}\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=-2-\sqrt{2}\\ \mathrm{a}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=-2-\sqrt{2}\\ \mathrm{a}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}\end{array}\right.$ thỏa mãn đề bài.

a) Xét phương trình (2) suy ra y = m – 2x.

Thay vào phương trình (1) ta có:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất.

Suy ra $\mathrm{m}-4\ne 0\iff \mathrm{m}\ne 4$.

Vậy với $\mathrm{m}\ne 4$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Nếu $\text{m−4=0⇔m=4}$ thì phương trình (3) trở thành 0.x = - 3

Dễ thấy phương trình vô nghiệm suy ra hệ phương trình vô nghiệm.

Theo kết quả trên khi $\mathrm{m}\ne 4$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vậy không tồn tại giá trị của m để hệ phương trình có vô số nghiệm.

c) Theo kết quả trên để hệ phương trình vô nghiệm khi m = 4.