Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có đáp án

Xét phương trình (2) của hệ, ta biến đổi y = -2x -1

5x + 3y = 1

<=> 5x + 3(-2x-1) = 1

<=> x = -4

Thay x = -4 vào (1) ta được:

y = -2.(-4)-1 = 7

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-4;7)

a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\sqrt{5}\mathrm{y}=0\left(1\right)\\ \sqrt{5}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1-\sqrt{5}\left(2\right)\end{array}\right.$

Xét phương trình (1) suy ra $\mathrm{x}=-\sqrt{5}\mathrm{y}$. Thay vào (2) ta có:

Khi $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $\Rightarrow \mathrm{x}=\left(-\sqrt{5}\right).\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\sqrt{5}-5}{2}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{\sqrt{5}-5}{2};\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\left(2-\sqrt{3}\right)\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2+5\sqrt{3}\left(1\right)\\ 4\mathrm{x}+\mathrm{y}=4-2\sqrt{3}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2) ta suy ra $\mathrm{y}=4-2\sqrt{3}-4\mathrm{x}$. Thay vào phương trình (1) ta có:

Khi x = 1 suy ra $\mathrm{y}=-2\sqrt{3}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(1;-2\sqrt{3}\right)$

a) Khi a = -1, ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ 2\mathrm{x}+6\mathrm{y}=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}=11\end{array}\right.\right.$

Dễ thấy hệ phương trình vô nghiệm.

b) Khi a = 0, ta được hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ \mathrm{x}+6\mathrm{y}=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ 3\mathrm{y}=-1\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{y}=-\frac{1}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(2;-\frac{1}{3}\right)$

c) Khi a = 1, ta được hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ 2\mathrm{x}+6\mathrm{y}=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}=1\end{array}\right.\right. \\ \iff \mathrm{x}+3\mathrm{y}=1 \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn x = 1 – 3y, $\mathrm{y}\in \mathrm{R}$

a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\sqrt{2}\mathrm{x}-\sqrt{3}\mathrm{y}=1\left(1\right)\\ \mathrm{x}+\sqrt{3}\mathrm{y}=\sqrt{2}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2) suy ra $\mathrm{x}=\sqrt{2}-\sqrt{3}\mathrm{y}$. Thay vào phương trình (1) ta có

Khi $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}$ thay vào (2) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(1;\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\right)$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-2\sqrt{2}\mathrm{y}=\sqrt{5}\left(1\right)\\ \sqrt{2}\mathrm{x}+\mathrm{y}=1-\sqrt{10}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) suy ra $\mathrm{x}=\sqrt{5}+2\sqrt{2}\mathrm{y}$ thay vào phương trình (2) ta có

Khi $\mathrm{y}=\frac{1-2\sqrt{10}}{5}$ thay vào (1) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5};\frac{1-2\sqrt{10}}{5}\right)$

c) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{x}-\mathrm{y}=\sqrt{2}\left(1\right)\\ \mathrm{x}+\left(\sqrt{2}+1\right)\mathrm{y}=1 \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta suy ra $\mathrm{y}=\left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{x}-\sqrt{2}$. Thay vào phương trình (2) ta có:

Khi $\mathrm{x}=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$ thay vào (2) ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2}\right)$

a) Do (1;-2) là nghiệm của hệ phương trình nên:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2-2\mathrm{b}=-4\\ \mathrm{b}+2\mathrm{a}=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{b}+2\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=3\\ \mathrm{a}=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với a = - 4 và b = 3 thỏa mãn bài toán.

b) Do là nghiệm của hệ phương trình nên

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2\left(\sqrt{2}-1\right)+\sqrt{2}\mathrm{b}=-4\\ \left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{b}+\sqrt{2}\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\sqrt{2}\mathrm{b}=-2-2\sqrt{2}\\ \left(\sqrt{2}-1\right)\mathrm{b}-\sqrt{2}\mathrm{a}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=-2-\sqrt{2}\\ \mathrm{a}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{b}=-2-\sqrt{2}\\ \mathrm{a}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}\end{array}\right.$ thỏa mãn đề bài.

a) Khi m = 2 hệ phương trình trở thành:

$\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-2\\ 4\mathrm{x}-6\mathrm{y}=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=-2\\ 2\mathrm{x}-3\mathrm{y}=2\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(0;-\frac{2}{3}\right)$

b) Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{mx}+3\mathrm{y}=-2\left(1\right)\\ {\mathrm{m}}^2\mathrm{x}-6\mathrm{y}=4\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) suy ra $3\mathrm{y}=-2-\mathrm{mx}\iff \mathrm{y}=-\frac{1}{3}\left(2+\mathrm{mx}\right)$. Thay vào phương trình (2) ta có:

${\mathrm{m}}^2\mathrm{x}+6.\frac{1}{3}\left(2+\mathrm{mx}\right)=4$

$\iff \left({\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}\right)\mathrm{x}=0$ (3)

Để hệ phương trình vô số nghiệm khi (3) vô số nghiệm.

Khi đó 

$$\begin{gathered} {\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}=0\iff \mathrm{m}\left(\mathrm{m}+2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{m}=0\\ \mathrm{m}=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy với m = 0 và m = -2 hệ có vô số nghiệm.

a) Từ phương trình (1) suy ra y = -x + 1. Thay vào (2) ta có:

Dể hệ phương trình vô số nghiệm khi phương trình (3) vô số nghiệm, suy ra $\mathrm{m}-2=0\iff \mathrm{m}=2$

b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi (3) có nghiệm duy nhất

Do đó  $\mathrm{m}-2\ne 0\iff \mathrm{m}\ne 2$

Vậy $\mathrm{m}\ne 2$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Khi $\mathrm{m}\ne 2$ ta có (3) $\iff \mathrm{x}=1$. Thay vào (1) suy ra y = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;0)

a) Từ phương trình (2) suy ra $\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{m}\left(3\right)$. Thay vào phương trình (1) ta có:

Khi $\mathrm{x}=\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2}$ thay vào (3) ta được: $\mathrm{y}=\mathrm{m}.\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2}+\mathrm{m}\iff \mathrm{y}=\frac{2\mathrm{m}}{1+{\mathrm{m}}^2}$

Vậy với mọi giá trị của m hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2};\frac{2\mathrm{m}}{1+{\mathrm{m}}^2}\right)$

b) Để thỏa mãn bài toán khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\frac{1-{\mathrm{m}}^2}{1+{\mathrm{m}}^2}>0\\ \frac{2\mathrm{m}}{1+{\mathrm{m}}^2}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}1-{\mathrm{m}}^2>0\\ 2\mathrm{m}>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{m}}^2<1\\ \mathrm{m}>0\end{array}\right.\iff 0<\mathrm{m}<1 \end{gathered}$$

Vậy với 0 < m < 1 hệ có nghiệm thỏa mãn bài toán.