Bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình có đáp án

Lập hệ phương trình

- Lựa chọn ẩn

Gọi x là thời gian dự định đi lúc đầu, điều kiện x > 0 (giờ)

Gọi y là độ dài quãng đường AB, điều kiện y >  0 (km)

- Thiết lập hai phương trình

Với giả thiết

+ Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm 2 giờ, ta được:

+ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm 1 giờ, ta được:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}35\mathrm{x}-\mathrm{y}=-70\\ 50\mathrm{x}-\mathrm{y}=50\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình

$\left(1\right)\iff \left\{\begin{array}{c}15\mathrm{x}=120\\ 50\mathrm{x}-\mathrm{y}=50\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=8\\ \mathrm{y}=350\end{array}\right.$ thỏa mãn điều kiện.

Kết luận: vậy quãng đường AB là 350 km, thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.

Ta thực hiện đổi đơn vị: 8 giờ 30 phút = $8+\frac{30}{60}=\frac{17}{2}$ (giờ)

Gọi x là thời gian hai người gặp nhau, điều kiện $\mathrm{x}>\frac{17}{2}$ (giờ)

Gọi y là độ dài quãng đường từ A tới điểm gặp nhau, điều kiện y > 0.

Với giả thiết:

- Người thứ nhất đi với vận tốc 40 km/h và xuất phát lúc 7 giờ, ta được:

- Người thứ hai đi với vận tốc 60 km/h và xuất phát lúc 8 giờ 30 phút, ta được:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}40\mathrm{x}-\mathrm{y}=280\\ 60\mathrm{x}-\mathrm{y}=510\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=11\frac{1}{2}\\ \mathrm{y}=180\end{array}\right.$

Vậy họ gặp nhau lúc 11 giờ 30 phút.

Đổi 6 phút = $\frac{1}{10}$ giờ.

Gọi x là vận tốc của người đi nhanh hơn (x > 0, đơn vị km/h)

Gọi y là vận tốc của người đi chậm hơn (y > 0, đơn vị km/h)

Hai người khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km (nghĩa là cách B 1,6 km). Lúc đó:

- Người đi nhanh mất $\frac{2}{\mathrm{x}}\left(\mathrm{h}\right)$

- Người đi chậm mất $\frac{1,6}{\mathrm{y}}\left(\mathrm{h}\right)$

Do đó, ta có phương trình  $\frac{2}{\mathrm{x}}=\frac{1,6}{\mathrm{y}}\left(1\right)$

Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trong trường hợp trên, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau chính giữa quãng đường. Lúc đó:

- Người đi nhanh mất $\frac{1,8}{\mathrm{x}}\left(\mathrm{h}\right)$

- Người đi chậm mất $\frac{1,8}{\mathrm{y}}+\frac{1}{10}\left(\mathrm{h}\right)$

Do đó, ta có phương trình: $\frac{1,8}{\mathrm{x}}=\frac{1,8}{\mathrm{y}}+\frac{1}{10}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{\mathrm{x}}=\frac{1,6}{\mathrm{y}}\\ \frac{1,8}{\mathrm{x}}=\frac{1,8}{\mathrm{y}}+\frac{1}{10}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=2,5\\ \mathrm{y}=2\end{array}\right.$

Vậy vận tốc của người đi nhanh là 2,5 km/h và vận tốc của người đi chậm là 2 km/h.

Ta thực hiện biến đổi đơn vị: 1 giờ 40 phút = $1+\frac{40}{60}=\frac{5}{3}$ giờ

Gọi x là vận tốc riêng của cano đi xuôi dòng, điều kiện x > 0. Do đó, khi đi xuôi dòng nó đi với vận tốc (x + 3) km/h.

Gọi y là vận tốc riêng của cano đi ngược dòng, điều kiện y > 3. Do đó, khi đi ngược dòng nó đi với vận tốc (y – 3) km/h.

Với giả thiết:

- Vận tốc riêng của cano đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của cano đi ngược 9 km/h, ta được $\mathrm{x}-\mathrm{y}=9\left(1\right)$

- Sau 1 giờ 40 phút hai cano gặp nhau, ta được:

$\frac{5}{3}\left[\left(\mathrm{x}+3\right)+\left(\mathrm{y}-3\right)\right]=85$

$\iff \mathrm{x}+\mathrm{y}=51\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=9\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=51\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=30\\ \mathrm{y}=21\end{array}\right.$

Vận tốc riêng của cano đi xuôi bằng 30 km/h, vận tốc riêng của cano đi ngược bằng 21 km/h.

Gọi x và y là vận tốc của các vật (x, y > 0, đơn vị cm/s)

- Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau

Do đó, ta có $\frac{20\mathrm{\pi }}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=20$

- Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau.

Do đó, ta có $\frac{20\mathrm{\pi }}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}=4$

Ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\frac{20\mathrm{\pi }}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=20\\ \frac{20\mathrm{\pi }}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}20\mathrm{\pi }=20\mathrm{x}-20\mathrm{y}\\ 20\mathrm{\pi }=4\mathrm{x}+4\mathrm{y}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=3\mathrm{\pi }\\ \mathrm{y}=2\mathrm{\pi }\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy vận tốc vật thứ nhất là  và vận tốc vật thứ hai là $2\mathrm{\pi m}/\mathrm{s}$