Bài tập Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Ta có đồ thị sau:

Dựa vào đồ thị, hai đường thẳng trùng nhau nên có vô số điểm chung.

Vậy hệ có vô số nghiệm, mỗi nghiệm là tọa độ (x; y) của một điểm trên đường thẳng 4x + 3y = 12.

a) Xét các phương trình trong hệ, ta có

Đường thẳng y = 3 – 2x có hệ số góc ${\mathrm{a}}_1=-2$

Đường thẳng y = 3x – 1 có hệ số góc ${\mathrm{a}}_2=3$

Vì ${\mathrm{a}}_1\ne {\mathrm{a}}_2$ nên hai đường thẳng này cắt nhau. Vậy hệ có một nghiệm duy nhất.

b) Xét các phương trình trong hệ, ta có

Đường thẳng $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{x}+3$ có hệ số góc ${\mathrm{a}}_1=-\frac{1}{2},{\mathrm{b}}_1=3$

Đường thẳng $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{x}+1$ có hệ số góc ${\mathrm{a}}_2=-\frac{1}{2},{\mathrm{b}}_2=1$

Vì ${\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_2,{\mathrm{b}}_1\ne {\mathrm{b}}_2$ nên hai đường thẳng này song song. Vậy hệ vô nghiệm.

c) Xét các phương trình trong hệ, ta có

Đường thẳng $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}\mathrm{x}$ có hệ số góc ${\mathrm{a}}_1=-\frac{3}{2}$

Đường thẳng $\mathrm{y}=\frac{2}{3}\mathrm{x}$ có hệ số góc ${\mathrm{a}}_2=\frac{2}{3}$

Vì ${\mathrm{a}}_1.{\mathrm{a}}_2=-1$ nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau. Vậy hệ có một nghiệm duy nhất.

d) Xét các phương trình trong hệ, ta có

Đường thẳng $3\mathrm{x}-\mathrm{y}=3\iff \mathrm{y}=3\mathrm{x}-3$

Đường thẳng $\mathrm{x}-\frac{1}{3}\mathrm{y}=1\iff \mathrm{y}=3\mathrm{x}-3$

Ta thấy hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ có vô số nghiệm.

a) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{2}{1}=2$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-1}{-1}=1$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=2=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$

Vậy hệ có nghiệm vô số nghiệm

c) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{3}{1}=3$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{6}{2}=3$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=3\ne 2=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$

Vậy hệ vô nghiệm

a) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{4}{1}=4$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{0}{-1}=0$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{a}}_1}=\frac{0}{1}=0$ và $\frac{{\mathrm{b}}_2}{{\mathrm{b}}_1}=\frac{-1}{3}$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{a}}_1}\ne \frac{{\mathrm{b}}_2}{{\mathrm{b}}_1}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

a) Với a = 3, hệ phương trình có dạng $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=3\end{array}\right.$

Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{3}{1}=3$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-1}{2}$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

b) Với $\mathrm{a}=-\frac{1}{2}$, hệ phương trình có dạng

Nhận xét rằng

$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=-\frac{1}{2}$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-1}{2}$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=-\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$

Vậy hệ vô nghiệm

a) Biến đổi hệ về dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-{\mathrm{a}}_1\mathrm{x}+\mathrm{b}\left({\mathrm{d}}_1\right)\\ \mathrm{y}=-{\mathrm{a}}_2\mathrm{x}+\mathrm{b}\left({\mathrm{d}}_2\right)\end{array}\right.$

Nhận xét rằng, hai đường thẳng $\left({\mathrm{d}}_1\right)$ và $\left({\mathrm{d}}_2\right)$ ứng với hai phương trình trong hệ luôn cắt trục Oy (vì hệ số tự do bằng nhau) tại điểm $\mathrm{I}\left(0;\mathrm{b}\right)$

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm $\left(0;\mathrm{b}\right)$ với mọi ${\mathrm{a}}_1;{\mathrm{a}}_2;\mathrm{b}$ bất kì.

b) Hệ có vô số nghiệm khi $\left({\mathrm{d}}_1\right)\equiv \left({\mathrm{d}}_2\right)\iff {\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_2$

Sử dụng định lí 1, ta được $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-3\mathrm{y}=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{x}}{2}-\frac{\mathrm{y}}{2}=1\\ \mathrm{x}-3\mathrm{y}=8\end{array}\right.$

Sử dụng định lí 2, ta được

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-3\mathrm{y}=8\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\\ \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)-\left(\mathrm{x}-3\mathrm{y}\right)=2-8\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\\ 2\mathrm{y}=-6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Sử dụng định lí 3, ta được

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}-3\mathrm{y}=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{y}+2\\ \left(\mathrm{y}+2\right)-3\mathrm{y}=8\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\mathrm{y}+2\\ -2\mathrm{y}=6\end{array}\right. \end{gathered}$$

- Giải hệ thứ nhất, ta được nghiệm duy nhất $\left(\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right)$

- Giải hệ thứ hai, ta được nghiệm duy nhất $\left(\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right)$

Vậy hai hệ phương trình là tương đương.