Cho $∆\mathrm{ABC}$. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp $∆\mathrm{DBC}$. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc với OH, OK với BC và BD ($\mathrm{H}\in \mathrm{BC}, \mathrm{K}\in \mathrm{BD}$)

a) Chứng minh rằng OH > OK

b) So sánh hai cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BD}}, \stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$

Trên dây cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$ của đường tròn (O) lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng $\stackrel{⏜}{\mathrm{AE}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{BF}}<\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}$

Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây MC cắt dây AB tại D. Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC ở K. Chứng minh rằng  là tam giác cân.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH của tam giác cắt đường tròn ở D. Vẽ đường kính AE.

a) Chứng minh rằng BECD là hình thang cân.

b) Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.

c) Tính bán kính của đường tròn biết BC = 24cm, IM = 8cm.

Hai đường tròn (O) và (O’) cùng bán kính cắt nhau tại M và N.

a) Chứng minh rằng hai cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{MN}}$ của hai đường tròn bằng nhau.

b) Vẽ các đường kính MA của đường tròn (O) và đường kính MB của đường tròn (O’). Chứng minh rằng $\stackrel{⏜}{\mathrm{NA}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{NB}}$

c) Vẽ đường kính NOC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng các cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{MN}}, \stackrel{⏜}{\mathrm{AC}}, \stackrel{⏜}{\mathrm{CD}}$ bằng nhau.

Tứ giác ABCD có $\stackrel{⏜}{\mathrm{B}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{D}}={90}^0$. Biết AB < AD, chứng minh rằng BC > CD.

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’). Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’)

a) So sánh các cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}, \stackrel{⏜}{\mathrm{BD}}$.

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{EBD}}$ (tức là điểm B chia cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{EBD}}$ thành hai cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{\mathrm{BE}}= \stackrel{⏜}{\mathrm{BD}}$)

Cho $∆$ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng

a) $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$

b) $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}<\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$