Cho $a + b + c = 0$ . Chứng minh $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ bằng mỗi biểu thức
1. $2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) .$
2. $2 {(a b + b c + c a)}^{2}$
3. $\frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Toán 8 Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1. Bình phương hai vế của a+b+c=0, được:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + b c + c a) = 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = - 2 (a b + b c + c a) (1)$

Bình phương hai vế của (1) ta được:

$a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2})$

$= 4 [a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + 2 a b c (a + b + c)]$

$= 4 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2})$

Suy ra $a^{4} + b^{4} + c^{4} = 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2})$

2. Bình phương hai vế của (1) ta được

$a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) = 4 {(a b + b c + c a)}^{2} (2)$

Từ (2) suy ra $2 {(a b + b c + c a)}^{2} = \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2})}{2} (3)$

Từ (3) và câu 1 suy ra $a^{4} + b^{4} + c^{4} = 2 {(a b + b c + c a)}^{2}$

3. Bình phương hai vế của (1), chia cho 2,được: $\frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{2} = 2 {(a b + b c + c a)}^{2} = a^{4} + b^{4} + c^{4}$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh hằng đẳng thức: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c \\ = {(a + b)}^{3} + c^{3} - 3 a b (a + b + c) \\ = (a + b + c) [{(a + b)}^{2} - c (a + b) + c^{2} - 3 a b] \\ = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) \end{array}$

Câu 2

Cho $x - y = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $x^{3} - y^{3} - 3 x y$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{3} - y^{3} - 3 x y = {(x - y)}^{3} + 3 x y (x - y) - 3 x y$

$\begin{array}{l} = 1 + 3 x y - 3 x y \\ = 1 \end{array}$

Câu 3