Bài tập các hằng đẳng thức đáng nhớ

Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1

Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức $x^2+2{\left(x+1\right)}^2+3{\left(x+2\right)}^2+4{\left(x+3\right)}^2$

Cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx=0$. Chứng minh rằng $x=y=z$.

Tính $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{...}-{99}^2+{100}^2$

Tính $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n.n^2$

Cho $x+y=a+b \left(1\right)$

$x^2+y^2=a^2+b^2 \left(2\right)$

Chứng minh rằng $x^3+y^3=a^3+b^3$

Cho $a+b=m; a-b=n$. Tính ab và $a^3–b^3$ theo m và n.

Tính giá trị của biểu thức sau $\frac{{63}^2-{47}^2}{{215}^2-{105}^2}$

Tính giá trị của biểu thức sau $\frac{{437}^2-{363}^2}{{537}^2-{463}^2}$

So sánh $A={26}^2-{24}^2$ và $B={27}^2-{25}^2$

Tìm x biết: $4{\left(x+1\right)}^2+{\left(2x-1\right)}^2-8\left(x-1\right)\left(x+1\right)=11$

Rút gọn biểu thức: $2x{\left(2x-1\right)}^2-3x\left(x+3\right)\left(x-3\right)-4x{\left(x+1\right)}^2$

Rút gọn biểu thức: $(a-b+c{)}^2-(b-c{)}^2+2ab-2ac$

Rút gọn biểu thức: $(3x+1{)}^2-2(3x+1\left)\right(3x+5)+(3x+5{)}^2$

Rút gọn biểu thức: $\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)$

Rút gọn biểu thức: $(a+b-c{)}^2+(a-b+c{)}^2-2(b-c{)}^2$

Rút gọn biểu thức: ${\left(a+b+c\right)}^2+{\left(a-b-c\right)}^2+{\left(b-c-a\right)}^2+{\left(c-a-b\right)}^2$

Rút gọn biểu thức: ${\left(a+b+c+d\right)}^2+{\left(a+b-c-d\right)}^2+{\left(a+c-b-d\right)}^2+{\left(a+d-b-c\right)}^2$

Cho $x+y=3$. Tính giá trị của biểu thức $A=x^2+2xy+y^2-4x-4y+1$

Cho $a^2+b^2+c^2=m$. Tính giá trị của biểu thức sau theo m: $A={\left(2a+2b-c\right)}^2+{\left(2b+2c-a\right)}^2+{\left(2c+2a-b\right)}^2$

Hãy viết các số sau đây dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1

a) 899

b) 9991

Chứng minh rằng hiệu sau đây là một số gồm toàn các chữ số như nhau ${7778}^2-{2223}^2$

Chứng minh hằng đẳng thức sau: ${\left(a+b+c\right)}^2+a^2+b^2+c^2={\left(a+b\right)}^2+{\left(b+c\right)}^2+{\left(c+a\right)}^2$

Chứng minh hằng đẳng thức sau: $x^4+y^4+{\left(x+y\right)}^4=2{\left(x^2+xy+y^2\right)}^2$

Tính $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n.n^2$

Cho $a^2+b^2=4c^2$. Chứng minh hằng đẳng thức: $\left(5a-3b+8c\right)\left(5a-3b-8c\right)={\left(3a-5b\right)}^2$

Chứng minh rằng nếu $\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)={\left(ax+by\right)}^2$ với x, y khác 0 thì $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

Chứng minh rằng nếu $\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)={\left(ax+by+cz\right)}^2$ với x, y, z khác 0 thì $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Cho $(a+b{)}^2=2(a^2+b^2)$. Chứng minh rằng a=b

Chứng minh rằng a=b=c nếu có điều kiện sau: $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$

Chứng minh rằng a=b=c nếu có điều kiện sau: ${\left(a+b+c\right)}^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)$.

Chứng minh rằng a=b=c nếu có điều kiện sau: ${\left(a+b+c\right)}^2=3\left(ab+bc+ca\right)$.

Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương: ${\left(a+b+c\right)}^2+a^2+b^2+c^2$

Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương: $2\left(a-b\right)\left(c-b\right)+2\left(b-a\right)\left(c-a\right)+2\left(b-c\right)\left(a-c\right)$

Tính giá trị của biểu thức $a^4+b^4+c^4$ biết rằng $a+b+c=0$ và: $a^2+b^2+c^2=2$

Tính giá trị của biểu thức $a^4+b^4+c^4$ biết rằng $a+b+c=0$ và: $a^2+b^2+c^2=1$

Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^4+b^4+c^4$ bằng mỗi biểu thức

1. $2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right).$

2. $2{\left(ab+bc+ca\right)}^2$

3. $\frac{{\left(a^2+b^2+c^2\right)}^2}{2}$

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: $9x^2-6x+2$

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: $x^2+x+1$

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: $2x^2+2x+1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) $A=x^2-3x+5$

b) $B={\left(2x-1\right)}^2+{\left(x+2\right)}^2$

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) $A=4-x^2+2x$

b) $B=4x-x^2$

Chứng minh rằng: Nếu p và $p^2+8$ là các số nguyên tố thì $p^2+2$ cũng là số nguyên tố

Chứng minh rằng: Nếu p và $8p^2+1$ là các số nguyên tố thì 2p+1 cũng là số nguyên tố

Chứng minh các số sau là hợp số

a) 999991

b) 1000027

Thực hiện phép tính: $(x-2{)}^3-x(x+1\left)\right(x-1)+6x(x-3)$

Thực hiện phép tính: $\left(x-2\right)\left(x^2-2x+4\right)\left(x+2\right)\left(x^2+2x+4\right)$

Tìm x biết: $\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)+x\left(x+2\right)\left(2-x\right)=1$

Tìm x biết: ${\left(x+1\right)}^3-{\left(x-1\right)}^3-6{\left(x-1\right)}^2=-10$

Rút gọn các biểu thức: ${\left(a+b+c\right)}^3-{\left(b+c-a\right)}^3-{\left(a+c-b\right)}^3-{\left(a+b-c\right)}^3$

Rút gọn các biểu thức: ${\left(a+b\right)}^3+{\left(b+c\right)}^3+{\left(c+a\right)}^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

Chứng minh hằng đẳng thức: ${\left(a+b+c\right)}^3-a^3-b^3-c^3=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

Chứng minh hằng đẳng thức: ${\text{a}}^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)$

Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^3+b^3+c^3=3abc$

Cho x+y=a và xy=b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b

a) $x^2+y^2$

b) $x^3+y^3$

Cho x+y=a và xy=b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b

a) $x^4+y^4$

b) $x^5+y^5$

Cho $x+y=1$. Tính giá trị của biểu thức $x^3+y^3+3xy$

Cho $x-y=1$. Tính giá trị của biểu thức $x^3-y^3-3xy$

Cho $a+b=1$. Tính giá trị của biểu thức $M=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2{b}^2\left(a+b\right)$

Cho $x+y =2$ và $x^2+y^2=10$. Tính giá trị của biểu thức $x^3+y^3$

Cho $x+y =a$ và $x^2+y^2=b$. Tính giá trị của biểu thức $x^3+y^3$ theo a, b

Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương.

Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương

Nếu n là tổng của hai số chính phương thì $n^2$ cũng là tổng của hai số chính phương

Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phương thì tích mn cũng là tổng của hai số chính phương

Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?

a) $A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}}25$

b) $B=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}8\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}}1$

Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?

a) $C=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{44...4}}}\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{88...8}}}9$

b) $D=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}\underset{n+1}{\underbrace{\mathrm{22...2}}}5$

Chứng minh rằng biểu thức sau là số chính phương: $A=\underset{2n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}-\underset{n}{\underbrace{\mathrm{22...2}}}$

Chứng minh rằng biểu thức sau là số chính phương: $B=\underset{2n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}+\underset{n}{\underbrace{\mathrm{44...4}}}+1$

Chứng minh rằng ab+1 là số chính phương, cho biết $a=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}},b=1\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{00...0}}}5$

Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước:

16, 1156, 111556, …      

Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.

Chứng minh rằng ab+1 là số chính phương với $a=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}2,b=1\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}4$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab+1 là số chính phương

Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n+1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh a+b+c+8 là số chính phương.

Chứng minh rằng biểu thức sau không là lập phương của một số tự nhiên ${10}^{150}+{5.10}^{50}+1$

Chứng minh rằng tích ba số nguyên dương liên tiếp không là lập phương của một số tự nhiên

Chia 27 quả cân có khối lượng 10, 20, 30, …270 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

Chia 18 quả cân có khối lượng $1^2,2^2,3^2,...,{18}^2$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

Chia 27 quả cân có khối lượng $1^2,2^2,3^2,...,{27}^2$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.