Bài tập các hằng đẳng thức đáng nhớ

Câu 1

Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$3599 = 3600 - 1 = 60^{2} - 1^{2} = (60 + 1) (60 - 1) = 61.59$

Câu 2

Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức $x^{2} + 2 {(x + 1)}^{2} + 3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(x + 3)}^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} x^{2} + 2 {(x + 1)}^{2} + 3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(x + 3)}^{2} \\ = x^{2} + 2 (x^{2} + 2 x + 1) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (x^{2} + 6 x + 9) \\ = x^{2} + 2 x^{2} + 4 x + 2 + 3 x^{2} + 12 x + 12 + 4 x^{2} + 24 x + 36 \\ = 10 x^{2} + 40 x + 50 \\ = (x^{2} + 10 x + 25) + (9 x^{2} + 30 x + 25) \\ = {(x + 5)}^{2} + {(3 x + 5)}^{2} \end{array}$

Câu 3

Cho $x + y + z = 0$ và $x y + y z + z x = 0$ . Chứng minh rằng $x = y = z$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: ${(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 x z$

Mà $x + y + z = 0$ và $x y + y z + z x = 0$ nên $^{2} + y^{2} + z^{2} = 0$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x^{2} = 0 \\ y^{2} = 0 \\ z^{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow x = y = z = 0$

Câu 4

Tính $A = - 1^{2} + 2^{2} - 3^{2} + 4^{2} - ... - 99^{2} + 100^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

$A = - 1^{2} + 2^{2} - 3^{2} + 4^{2} - ... - 99^{2} + 100^{2} \begin{array}{l} = (2^{2} - 1^{2}) + (4^{2} - 3^{2}) + ... + (100^{2} - 99^{2}) \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 \\ = \frac{100...101}{2} = 5050 \end{array}$

Câu 5

Tính $A = - 1^{2} + 2^{2} - 3^{2} + 4^{2} - ... + {(- 1)}^{n} . n^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Xét hai trường hợp

* Nếu n là chẵn thì

$\begin{array}{l} A = (2^{2} - 1^{2}) + (4^{2} - 3^{2}) + ... + (100^{2} - 99^{2}) \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n - 1) + n \\ = \frac{n (n + 1)}{2} \end{array}$

*Nếu n là lẻ thì

$\begin{array}{l} A = - 1^{2} + 2^{2} - 3^{2} + 4^{2} - ... + {(- 1)}^{n} . n^{2} \\ = (2^{2} - 1^{2}) + (4^{2} - 3^{2}) + ... + [{(n - 1)}^{2} - {(n - 2)}^{2}] - n^{2} \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n - 1) - n^{2} \\ = \frac{n (n - 1)}{2} - n^{2} \\ = - \frac{n (n + 1)}{2} \end{array}$

Câu 6

Cho $x + y = a + b (1)$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2} (2)$
Chứng minh rằng $x^{3} + y^{3} = a^{3} + b^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Bài tập các hằng đẳng thức đáng nhớ

🔥 Đề thi HOT:

15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 1: Đơn thức có đáp án

15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 1: Đơn thức và đa thức nhiều biến có đáp án

Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)

15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến có đáp án

10 Bài tập Nhận biết đơn thức, đơn thức thu gọn, hệ số, phần biến và bậc của đơn thức (có lời giải)

Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án (Đề 5)

Dạng 8: Bài luyện tập 3 dạng 4. Tổng hợp có đáp án

Dạng 2: Bài luyện tập 1 Dạng 2: Rút gọn phân thức có đáp án

Nội dung liên quan:

Bài tập Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Bài tập Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Bài tập Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

Bài tập Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài tập Toán 8: Đơn thức

Bài tập Toán 8: Chia đa thức cho đơn thức

Bài tập Toán 8: Chia đa thức cho đơn thức đã sắp xếp

Tổng hợp lí thuyết và bài tập Toán 8 Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức

Bài tập Toán 8: Ôn tập chương 1

Danh sách câu hỏi:

Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1

Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức x2+2x+12+3x+22+4x+32

Cho x+y+z=0 và xy+yz+zx=0. Chứng minh rằng x=y=z.

Tính A=−12+22−32+42−...−992+1002

Tính A=−12+22−32+42−...+−1n.n2

Cho x+y=a+b (1)x2+y2=a2+b2 (2)Chứng minh rằng x3+y3=a3+b3

Cho a+b=m; a-b=n. Tính ab và a3–b3 theo m và n.

Tính giá trị của biểu thức sau 632−4722152−1052

Tính giá trị của biểu thức sau 4372−36325372−4632

So sánh A=262-242 và B=272-252

Tìm x biết: 4x+12+2x−12−8x−1x+1=11

Rút gọn biểu thức: 2x2x−12−3xx+3x−3−4xx+12

Rút gọn biểu thức: (a-b+c)2-(b-c)2+2ab-2ac

Rút gọn biểu thức: (3x+1)2-2(3x+1)(3x+5)+(3x+5)2

Rút gọn biểu thức: 3+132+134+138+1316+1332+1

Rút gọn biểu thức: (a+b-c)2+(a-b+c)2-2(b-c)2

Rút gọn biểu thức: a+b+c2+a−b−c2+b−c−a2+c−a−b2

Rút gọn biểu thức: a+b+c+d2+a+b−c−d2+a+c−b−d2+a+d−b−c2

Cho x+y=3. Tính giá trị của biểu thức A=x2+2xy+y2-4x-4y+1

Cho a2+b2+c2=m. Tính giá trị của biểu thức sau theo m: A=2a+2b−c2+2b+2c−a2+2c+2a−b2

Hãy viết các số sau đây dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1a) 899b) 9991

Chứng minh rằng hiệu sau đây là một số gồm toàn các chữ số như nhau 77782−22232

Chứng minh hằng đẳng thức sau: a+b+c2+a2+b2+c2=a+b2+b+c2+c+a2

Chứng minh hằng đẳng thức sau: x4+y4+x+y4=2x2+xy+y22

Tính A=−12+22−32+42−...+−1n.n2

Cho a2+b2=4c2. Chứng minh hằng đẳng thức: 5a−3b+8c5a−3b−8c=3a−5b2

Chứng minh rằng nếu a2+b2x2+y2=ax+by2 với x, y khác 0 thì ax=by

Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2x2+y2+z2=ax+by+cz2 với x, y, z khác 0 thì ax=by=cz

Cho (a+b)2=2(a2+b2). Chứng minh rằng a=b

Chứng minh rằng a=b=c nếu có điều kiện sau: a2+b2+c2=ab+bc+ca

Chứng minh rằng a=b=c nếu có điều kiện sau: a+b+c2=3a2+b2+c2.

Chứng minh rằng a=b=c nếu có điều kiện sau: a+b+c2=3ab+bc+ca.

Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương: a+b+c2+a2+b2+c2

Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương: 2a−bc−b+2b−ac−a+2b−ca−c

Tính giá trị của biểu thức a4+b4+c4 biết rằng a+b+c=0 và: a2+b2+c2=2

Tính giá trị của biểu thức a4+b4+c4 biết rằng a+b+c=0 và: a2+b2+c2=1

Cho a+b+c=0. Chứng minh a4+b4+c4 bằng mỗi biểu thức1. 2a2b2+b2c2+c2a2.2. 2ab+bc+ca23. a2+b2+c222

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: 9x2−6x+2

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: x2+x+1

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: 2x2+2x+1

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:a) A=x2−3x+5b) B=2x−12+x+22

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:a) A=4−x2+2xb) B=4x−x2

Chứng minh rằng: Nếu p và p2+8 là các số nguyên tố thì p2+2 cũng là số nguyên tố

Chứng minh rằng: Nếu p và 8p2+1 là các số nguyên tố thì 2p+1 cũng là số nguyên tố

Chứng minh các số sau là hợp sốa) 999991b) 1000027

Thực hiện phép tính: (x-2)3-x(x+1)(x-1)+6x(x-3)

Thực hiện phép tính: x−2x2−2x+4x+2x2+2x+4

Tìm x biết: x−3x2+3x+9+xx+22−x=1

Tìm x biết: x+13−x−13−6x−12=−10

Rút gọn các biểu thức: a+b+c3−b+c−a3−a+c−b3−a+b−c3

Rút gọn các biểu thức: a+b3+b+c3+c+a3−3a+bb+cc+a

Chứng minh hằng đẳng thức: a+b+c3−a3−b3−c3=3a+bb+cc+a

Chứng minh hằng đẳng thức: a3+b3+c3−3abc=a+b+ca2+b2+c2−ab−bc−ca

Cho a+b+c=0. Chứng minh a3+b3+c3=3abc

Cho x+y=a và xy=b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và ba) x2+y2b) x3+y3

Cho x+y=a và xy=b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và ba) x4+y4b) x5+y5

Cho x+y=1. Tính giá trị của biểu thức x3+y3+3xy

Cho x-y=1. Tính giá trị của biểu thức x3-y3-3xy

Cho a+b=1. Tính giá trị của biểu thức M=a3+b3+3aba2+b2+6a2b2a+b

Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức $x^{2} + 2 {(x + 1)}^{2} + 3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(x + 3)}^{2}$

Cho $x + y + z = 0$ và $x y + y z + z x = 0$ . Chứng minh rằng $x = y = z$ .

Tính $A = - 1^{2} + 2^{2} - 3^{2} + 4^{2} - ... - 99^{2} + 100^{2}$

Tính $A = - 1^{2} + 2^{2} - 3^{2} + 4^{2} - ... + {(- 1)}^{n} . n^{2}$

Cho $x + y = a + b (1)$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2} (2)$
Chứng minh rằng $x^{3} + y^{3} = a^{3} + b^{3}$

Cho $a + b = m; a - b = n$ . Tính ab và $a^{3} - b^{3}$ theo m và n.

Tính giá trị của biểu thức sau $\frac{63^{2} - 47^{2}}{215^{2} - 105^{2}}$

Tính giá trị của biểu thức sau $\frac{437^{2} - 363^{2}}{537^{2} - 463^{2}}$

So sánh $A = 26^{2} - 24^{2}$ và $B = 27^{2} - 25^{2}$

Tìm x biết: $4 {(x + 1)}^{2} + {(2 x - 1)}^{2} - 8 (x - 1) (x + 1) = 11$

Rút gọn biểu thức: $2 x {(2 x - 1)}^{2} - 3 x (x + 3) (x - 3) - 4 x {(x + 1)}^{2}$

Rút gọn biểu thức: $(a - b + c)^{2} - (b - c)^{2} + 2 a b - 2 a c$

Rút gọn biểu thức: $(3 x + 1)^{2} - 2 (3 x + 1) (3 x + 5) + (3 x + 5)^{2}$

Rút gọn biểu thức: $(3 + 1) (3^{2} + 1) (3^{4} + 1) (3^{8} + 1) (3^{16} + 1) (3^{32} + 1)$

Rút gọn biểu thức: $(a + b - c)^{2} + (a - b + c)^{2} - 2 (b - c)^{2}$

Rút gọn biểu thức: ${(a + b + c)}^{2} + {(a - b - c)}^{2} + {(b - c - a)}^{2} + {(c - a - b)}^{2}$

Rút gọn biểu thức: ${(a + b + c + d)}^{2} + {(a + b - c - d)}^{2} + {(a + c - b - d)}^{2} + {(a + d - b - c)}^{2}$

Cho $x + y = 3$ . Tính giá trị của biểu thức $A = x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x - 4 y + 1$

Cho $a^{2} + b^{2} + c^{2} = m$ . Tính giá trị của biểu thức sau theo m: $A = {(2 a + 2 b - c)}^{2} + {(2 b + 2 c - a)}^{2} + {(2 c + 2 a - b)}^{2}$

Hãy viết các số sau đây dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1
a) 899
b) 9991

Chứng minh rằng hiệu sau đây là một số gồm toàn các chữ số như nhau $7778^{2} - 2223^{2}$

Chứng minh hằng đẳng thức sau: ${(a + b + c)}^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(a + b)}^{2} + {(b + c)}^{2} + {(c + a)}^{2}$

Chứng minh hằng đẳng thức sau: $x^{4} + y^{4} + {(x + y)}^{4} = 2 {(x^{2} + x y + y^{2})}^{2}$

Tính $A = - 1^{2} + 2^{2} - 3^{2} + 4^{2} - ... + {(- 1)}^{n} . n^{2}$

Cho $a^{2} + b^{2} = 4 c^{2}$ . Chứng minh hằng đẳng thức: $(5 a - 3 b + 8 c) (5 a - 3 b - 8 c) = {(3 a - 5 b)}^{2}$

Chứng minh rằng nếu $(a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) = {(a x + b y)}^{2}$ với x, y khác 0 thì $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$

Chứng minh rằng nếu $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = {(a x + b y + c z)}^{2}$ với x, y, z khác 0 thì $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$

Cho $(a + b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ . Chứng minh rằng a=b

Chứng minh rằng a=b=c nếu có điều kiện sau: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + c a$

Chứng minh rằng a=b=c nếu có điều kiện sau: ${(a + b + c)}^{2} = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ .

Chứng minh rằng a=b=c nếu có điều kiện sau: ${(a + b + c)}^{2} = 3 (a b + b c + c a)$ .

Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương: ${(a + b + c)}^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương: $2 (a - b) (c - b) + 2 (b - a) (c - a) + 2 (b - c) (a - c)$

Tính giá trị của biểu thức $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ biết rằng $a + b + c = 0$ và: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2$

Tính giá trị của biểu thức $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ biết rằng $a + b + c = 0$ và: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$

Cho $a + b + c = 0$ . Chứng minh $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ bằng mỗi biểu thức
1. $2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) .$
2. $2 {(a b + b c + c a)}^{2}$
3. $\frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{2}$

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: $9 x^{2} - 6 x + 2$

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: $x^{2} + x + 1$

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: $2 x^{2} + 2 x + 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) $A = x^{2} - 3 x + 5$
b) $B = {(2 x - 1)}^{2} + {(x + 2)}^{2}$

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) $A = 4 - x^{2} + 2 x$
b) $B = 4 x - x^{2}$

Chứng minh rằng: Nếu p và $p^{2} + 8$ là các số nguyên tố thì $p^{2} + 2$ cũng là số nguyên tố

Chứng minh rằng: Nếu p và $8 p^{2} + 1$ là các số nguyên tố thì 2p+1 cũng là số nguyên tố

Chứng minh các số sau là hợp số
a) 999991
b) 1000027

Thực hiện phép tính: $(x - 2)^{3} - x (x + 1) (x - 1) + 6 x (x - 3)$

Thực hiện phép tính: $(x - 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

Tìm x biết: $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + x (x + 2) (2 - x) = 1$

Tìm x biết: ${(x + 1)}^{3} - {(x - 1)}^{3} - 6 {(x - 1)}^{2} = - 10$

Rút gọn các biểu thức: ${(a + b + c)}^{3} - {(b + c - a)}^{3} - {(a + c - b)}^{3} - {(a + b - c)}^{3}$

Rút gọn các biểu thức: ${(a + b)}^{3} + {(b + c)}^{3} + {(c + a)}^{3} - 3 (a + b) (b + c) (c + a)$

Chứng minh hằng đẳng thức: ${(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3} = 3 (a + b) (b + c) (c + a)$

Chứng minh hằng đẳng thức: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$

Cho $a + b + c = 0$ . Chứng minh $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$

Cho x+y=a và xy=b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b
a) $x^{2} + y^{2}$
b) $x^{3} + y^{3}$

Cho x+y=a và xy=b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b
a) $x^{4} + y^{4}$
b) $x^{5} + y^{5}$

Cho $x + y = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $x^{3} + y^{3} + 3 x y$

Cho $x - y = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $x^{3} - y^{3} - 3 x y$

Cho $a + b = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $M = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a^{2} + b^{2}) + 6 a^{2} b^{2} (a + b)$

Cho $x + y = 2$ và $x^{2} + y^{2} = 10$ . Tính giá trị của biểu thức $x^{3} + y^{3}$

Cho $x + y = a$ và $x^{2} + y^{2} = b$ . Tính giá trị của biểu thức $x^{3} + y^{3}$ theo a, b

Nếu n là tổng của hai số chính phương thì $n^{2}$ cũng là tổng của hai số chính phương

Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?
a) $A = \underset{n}{\underset{⏟}{99...9}} \underset{n}{\underset{⏟}{00...0}} 25$
b) $B = \underset{n}{\underset{⏟}{99...9}} 8 \underset{n}{\underset{⏟}{00...0}} 1$

Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?
a) $C = \underset{n}{\underset{⏟}{44...4}} \underset{n - 1}{\underset{⏟}{88...8}} 9$
b) $D = \underset{n}{\underset{⏟}{11...1}} \underset{n + 1}{\underset{⏟}{22...2}} 5$

Chứng minh rằng biểu thức sau là số chính phương: $A = \underset{2 n}{\underset{⏟}{11...1}} - \underset{n}{\underset{⏟}{22...2}}$

Chứng minh rằng biểu thức sau là số chính phương: $B = \underset{2 n}{\underset{⏟}{11...1}} + \underset{n}{\underset{⏟}{44...4}} + 1$

Chứng minh rằng ab+1 là số chính phương, cho biết $a = \underset{n}{\underset{⏟}{11...1}}, b = 1 \underset{n - 1}{\underset{⏟}{00...0}} 5$

Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước:
16, 1156, 111556, …
Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.

Chứng minh rằng ab+1 là số chính phương với $a = \underset{n}{\underset{⏟}{11...1}} 2, b = 1 \underset{n}{\underset{⏟}{11...1}} 4$

Chứng minh rằng biểu thức sau không là lập phương của một số tự nhiên $10^{150} + {5.10}^{50} + 1$

Chia 18 quả cân có khối lượng $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, . . ., 18^{2}$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

Chia 27 quả cân có khối lượng $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, . . ., 27^{2}$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.