Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

$\begin{array}{l} = a^{3} + b^{3} + a^{2} c + b^{2} c - a b c \\ = (a^{3} + a^{2} c) + (b^{3} + b^{2} c) - a b c \\ = a^{2} (a + c) + b^{2} (b + c) - a b c \\ = a^{2} (- b) + b^{2} (- a) - a b c \\ = - a b (a + b + c) \\ = 0 \end{array}$

Vậy M = 0

Câu 3/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

Lời giải

$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = {(a + b)}^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + c^{3} - 3 a b c$

$\begin{array}{l} = [{(a + b)}^{3} + c^{3}] - 3 a b (a + b + c) \\ = (a + b + c) [{(a + b)}^{2} - c (a + b) + c^{2}] - 3 a b (a + b + c) \\ = (a + b + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - b c + c^{2} - 3 a b) \\ = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c) \end{array}$

Câu 4/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${(x - y)}^{3} + {(y - z)}^{3} + {(z - x)}^{3}$

Lời giải

Đặt $a = x - y, b = y - z, c = z - x$ thì $a + b + c = 0$ . Do đó theo kết quả của câu trên, ta có:

$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 0 \Rightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \Rightarrow {(x - y)}^{3} + {(y - z)}^{3} + {(z - x)}^{3} = 3 (x - y) (y - z) (z - x)$

Câu 5/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$

Lời giải

Áp dụng nhiều lần công thức ${(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$ ta có:

${(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$

$= {[(a + b) + c]}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3} \begin{array}{l} = {(a + b)}^{3} + c^{3} + 3 (a + b) c (a + b + c) - a^{3} - b^{3} - c^{3} \\ = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) + c^{3} + 3 (a + b) c (a + b + c) - a^{3} - b^{3} - c^{3} \\ = 3 (a + b) (a b + a c + b c + c^{2}) \\ = 3 (a + b) [a (b + c) + c (b + c)] \\ = 3 (a + b) (b + c) (c + a) \end{array}$

Câu 6/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử $8 {(x + y + z)}^{3} - {(x + y)}^{3} - {(y + z)}^{3} - {(z + x)}^{3}$

Lời giải

Đặt $x + y = a, y + z = b, z + x = c$ thì $a + b + c = 2 (π + y + z)$ . Đa thức đã cho có dạng: ${(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$

Áp dụng kết quả của câu trên, ta được: $8 {(x + y + z)}^{3} - {(x + y)}^{3} - {(y + z)}^{3} - {(z + x)}^{3}$ $= 3 (x + 2 y + z) (x + y + 2 z) (2 x + y + z)$

Câu 7/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử $P = x^{2} (y - z) + y^{2} (z - x) + z^{2} (x - y)$

Lời giải

Khai triển hai hạng tử cuối rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung y-z

$P = x^{2} (y - z) + z y^{2} - x y^{2} + x z^{2} - y z^{2}$

$\begin{array}{l} = x^{2} (y - z) + y z (y - z) - x (y^{2} - z^{2}) \\ = x^{2} (y - z) + y z (y - z) - x (y - z) (y + z) \\ = (y - z) (x^{2} + y z - x y - x z) \\ = (y - z) [x (x - y) - z (x - y)] \\ = (y - z) (x - y) (x - z) \end{array}$

Câu 8/42

Xét hằng đẳng thức ${(x + 1)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ . Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, …, n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức $S = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}$

Lời giải

Từ hằng đẳng thức đã cho, ta có:

$2^{3} = {(1 + 1)}^{3} = 1^{3} + {3.1}^{2} + 3.1 + 1$

$3^{3} = {(2 + 1)}^{3} = 2^{3} + {3.2}^{2} + 3.2 + 1$

$4^{3} = {(3 + 1)}^{3} = 3^{3} + {3.3}^{2} + 3.3 + 1$

...................................

${(n + 1)}^{3} = n^{3} + 3. n^{2} + 3. n + 1$

Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được ${(n + 1)}^{3} = 1^{3} + 3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) + 3 (1 + 2 + 3 + ... + n) + n$

Do đó

$3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) = {(n + 1)}^{3} - \frac{3 n (n + 1)}{2} - (n + 1)$

$\begin{array}{l} 3 S = (n + 1) [{(n + 1)}^{2} - \frac{3 n}{2} - 1] \\ 3 S = (n + 1) (n^{2} + \frac{n}{2}) \\ 3 S = \frac{1}{2} n (n + 1) (2 n + 1) \end{array}$

Vậy $S = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

Câu 9/42