Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

🔥 Học sinh cũng đã học

47 người thi tuần này

Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến thể tích, diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều lớp 8 (có lời giải)

1 K lượt thi 10 câu hỏi

32 người thi tuần này

Bài tập Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều lớp 8 (có lời giải)

1 K lượt thi 10 câu hỏi

31 người thi tuần này

Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến tính thể tích, diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều lớp 8 (có lời giải)

1 K lượt thi 10 câu hỏi

39 người thi tuần này

Bài tập Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều lớp 8 (có lời giải)

1 K lượt thi 10 câu hỏi

32 người thi tuần này

Bài tập Các bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng các tam giác vuông đồng dạng lớp 8 (có lời giải)

1.1 K lượt thi 10 câu hỏi

39 người thi tuần này

Bài tập Các bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Pythagore lớp 8 (có lời giải)

1.2 K lượt thi 10 câu hỏi

32 người thi tuần này

Bài tập Chứng minh các tính chất hình học lớp 8 (có lời giải)

1.2 K lượt thi 10 câu hỏi

35 người thi tuần này

Bài tập Tính độ dài cạnh trong tam giác vuông bằng cách sử dụng định lí Pythagore lớp 8 (có lời giải)

1.2 K lượt thi 10 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + x + 1$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

$x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + x + 1 = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 1$

$\begin{array}{l} = x^{2} (x^{2} + x + 1) + (x^{2} + x + 1) \\ = (x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1) \end{array}$

Cách 2:

$x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + x + 1 = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + (x^{3} + x) = {(x^{2} + 1)}^{2} + x (x^{2} + 1) = (x^{2} + 1) (x^{2} + x + 1)$

Câu 2/42

Cho $a + b + c = 0$ . Rút gọn biểu thức $M = a^{3} + b^{3} + c (a^{2} + b^{2}) - a b c$

Xem đáp án

Lời giải

$M = a^{3} + b^{3} + c (a^{2} + b^{2}) - a b c$

$\begin{array}{l} = a^{3} + b^{3} + a^{2} c + b^{2} c - a b c \\ = (a^{3} + a^{2} c) + (b^{3} + b^{2} c) - a b c \\ = a^{2} (a + c) + b^{2} (b + c) - a b c \\ = a^{2} (- b) + b^{2} (- a) - a b c \\ = - a b (a + b + c) \\ = 0 \end{array}$

Vậy M = 0

Câu 3/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

Xem đáp án

Lời giải

$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = {(a + b)}^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + c^{3} - 3 a b c$

$\begin{array}{l} = [{(a + b)}^{3} + c^{3}] - 3 a b (a + b + c) \\ = (a + b + c) [{(a + b)}^{2} - c (a + b) + c^{2}] - 3 a b (a + b + c) \\ = (a + b + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - b c + c^{2} - 3 a b) \\ = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c) \end{array}$

Câu 4/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${(x - y)}^{3} + {(y - z)}^{3} + {(z - x)}^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $a = x - y, b = y - z, c = z - x$ thì $a + b + c = 0$ . Do đó theo kết quả của câu trên, ta có:

$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 0 \Rightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \Rightarrow {(x - y)}^{3} + {(y - z)}^{3} + {(z - x)}^{3} = 3 (x - y) (y - z) (z - x)$

Câu 5/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng nhiều lần công thức ${(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$ ta có:

${(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$

$= {[(a + b) + c]}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3} \begin{array}{l} = {(a + b)}^{3} + c^{3} + 3 (a + b) c (a + b + c) - a^{3} - b^{3} - c^{3} \\ = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) + c^{3} + 3 (a + b) c (a + b + c) - a^{3} - b^{3} - c^{3} \\ = 3 (a + b) (a b + a c + b c + c^{2}) \\ = 3 (a + b) [a (b + c) + c (b + c)] \\ = 3 (a + b) (b + c) (c + a) \end{array}$

Câu 6/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử $8 {(x + y + z)}^{3} - {(x + y)}^{3} - {(y + z)}^{3} - {(z + x)}^{3}$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $x + y = a, y + z = b, z + x = c$ thì $a + b + c = 2 (π + y + z)$ . Đa thức đã cho có dạng: ${(a + b + c)}^{3} - a^{3} - b^{3} - c^{3}$

Áp dụng kết quả của câu trên, ta được: $8 {(x + y + z)}^{3} - {(x + y)}^{3} - {(y + z)}^{3} - {(z + x)}^{3}$ $= 3 (x + 2 y + z) (x + y + 2 z) (2 x + y + z)$

Câu 7/42

Phân tích đa thức sau thành nhân tử $P = x^{2} (y - z) + y^{2} (z - x) + z^{2} (x - y)$

Xem đáp án

Lời giải

Khai triển hai hạng tử cuối rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung y-z

$P = x^{2} (y - z) + z y^{2} - x y^{2} + x z^{2} - y z^{2}$

$\begin{array}{l} = x^{2} (y - z) + y z (y - z) - x (y^{2} - z^{2}) \\ = x^{2} (y - z) + y z (y - z) - x (y - z) (y + z) \\ = (y - z) (x^{2} + y z - x y - x z) \\ = (y - z) [x (x - y) - z (x - y)] \\ = (y - z) (x - y) (x - z) \end{array}$

Câu 8/42

Xét hằng đẳng thức ${(x + 1)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ . Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, …, n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức $S = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Từ hằng đẳng thức đã cho, ta có:

$2^{3} = {(1 + 1)}^{3} = 1^{3} + {3.1}^{2} + 3.1 + 1$

$3^{3} = {(2 + 1)}^{3} = 2^{3} + {3.2}^{2} + 3.2 + 1$

$4^{3} = {(3 + 1)}^{3} = 3^{3} + {3.3}^{2} + 3.3 + 1$

...................................

${(n + 1)}^{3} = n^{3} + 3. n^{2} + 3. n + 1$

Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được ${(n + 1)}^{3} = 1^{3} + 3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) + 3 (1 + 2 + 3 + ... + n) + n$

Do đó

$3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) = {(n + 1)}^{3} - \frac{3 n (n + 1)}{2} - (n + 1)$

$\begin{array}{l} 3 S = (n + 1) [{(n + 1)}^{2} - \frac{3 n}{2} - 1] \\ 3 S = (n + 1) (n^{2} + \frac{n}{2}) \\ 3 S = \frac{1}{2} n (n + 1) (2 n + 1) \end{array}$

Vậy $S = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

Câu 9/42