Xét hằng đẳng thức ${(x + 1)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ . Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, …, n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức $S = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Toán 8 Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ hằng đẳng thức đã cho, ta có:

$2^{3} = {(1 + 1)}^{3} = 1^{3} + {3.1}^{2} + 3.1 + 1$

$3^{3} = {(2 + 1)}^{3} = 2^{3} + {3.2}^{2} + 3.2 + 1$

$4^{3} = {(3 + 1)}^{3} = 3^{3} + {3.3}^{2} + 3.3 + 1$

...................................

${(n + 1)}^{3} = n^{3} + 3. n^{2} + 3. n + 1$

Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được ${(n + 1)}^{3} = 1^{3} + 3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) + 3 (1 + 2 + 3 + ... + n) + n$

Do đó

$3 (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}) = {(n + 1)}^{3} - \frac{3 n (n + 1)}{2} - (n + 1)$

$\begin{array}{l} 3 S = (n + 1) [{(n + 1)}^{2} - \frac{3 n}{2} - 1] \\ 3 S = (n + 1) (n^{2} + \frac{n}{2}) \\ 3 S = \frac{1}{2} n (n + 1) (2 n + 1) \end{array}$

Vậy $S = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng nếu $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = 4 a b c d$ và a, b, c, d là các số dương thì $a = b = c = d$

Xem đáp án

Lời giải

Câu 2

Phân tích thành nhân tử: $a^{4} (b - c) + b^{4} (c - a) + c^{4} (a - b)$

Xem đáp án

Lời giải

Câu 3