Câu hỏi:

11/07/2024 4,000

Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là đường phân giác trong của góc A, khẳng định là đúng hay sai?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì AD là đường phân giác của góc A nên

$\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow \frac{D B}{D B + D C} = \frac{A B}{A B + A C}$

$\Rightarrow D B = \frac{a . c}{b + c}$ và $D C = \frac{a . b}{b + c}$

Ta phải chứng minh $A D^{2} = A B . A C - D B . D C$

Thật vậy, trên tia đối AD lấy E sao cho $\hat{C B E} = \hat{D A C} = \hat{D A B}$

$\Rightarrow Δ C E D ~ Δ A B D$ (g.g) suy ra $D B . D C = A D . D E$ và $\hat{A B D} = \hat{A E C}$

$\Rightarrow Δ A B D ~ Δ A E C$ (g.g) suy ra $A B . A C = A D . A E$

Do đó $A B . A C - D B . D C = A D (A E - D E) = A D^{2}$

Khi đó

$\begin{array}{l} A D^{2} = A B . A C - D B . D C \\ = b c - (\frac{a c}{b + c}) . (\frac{a b}{b + c}) \\ = b c . (1 - \frac{a^{2}}{{(b + c)}^{2}}) \\ = b c (\frac{b^{2} + c^{2} + 2 b c - a^{2}}{{(b + c)}^{2}}) \end{array}$

Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A nên $b^{2} + c^{2} = a^{2}$

Do đó $A D^{2} = \frac{2 b^{2} c^{2}}{{(b + c)}^{2}} \Rightarrow A D = \frac{\sqrt{2}}{b + c} b c$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=3cm, AC=4cm, đường cao AH. Điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA=2IB, CI cắt AH tại E. Tính độ dài cạnh CE.

Xem đáp án

Lời giải

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có

$\begin{array}{l} B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 5 c m, C I = \sqrt{C A^{2} + A I^{2}} = 2 \sqrt{5} c m \\ C H = \frac{A C^{2}}{B C} = \frac{16}{5} c m, B H = \frac{A B^{2}}{B C} = \frac{9}{5} c m \\ A H . B C = A B . A C \Rightarrow A H = \frac{A B . A C}{B C} = \frac{12}{5} c m \end{array}$

Kẻ $I F ⊥ B C \Rightarrow I F ∥ A H$

$\Rightarrow Δ B F I ~ Δ B H A$ nên $\frac{B I}{B A} = \frac{B F}{B H} \Rightarrow B F = \frac{1}{3} . B H = \frac{9}{15} c m$

$\Rightarrow Δ C H E ~ Δ C F I$ nên $\frac{C E}{C I} = \frac{C H}{C F} \Rightarrow C E = \frac{C H . C I}{C F} = \frac{C H . C I}{B C . B F} = \frac{16 \sqrt{5}}{11} c m$

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH=1cm, AC= $2 \sqrt{5} c m$
Tính BC
Tính AB
Tính AH

Xem đáp án

Lời giải

Gọi độ dài cạnh CH là x với x>0

Khi đó ta có $A C^{2} = C H . B C \Leftrightarrow x (x + 1) = 20 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 4 (n h ậ n) \\ x = - 5 (l o a ị) \end{matrix}$

Do vậy BC=BH+CH=5cm

$\begin{array}{l} A B^{2} = B H . B C = 5 \Rightarrow A B = \sqrt{5} c m \\ A H . B C = A B . A C \Rightarrow A H = \frac{A B . A C}{B C} = 2 c m \end{array}$

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, $r, r_{1}, r_{2}$ lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác vuông ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng
$r_{1} = r . \frac{c}{a}$ và $r_{2} = r . \frac{b}{a}$
${r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} = r^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC vuông tại A, tan C= $\frac{3}{4}$ và đường cao AH=12cm
Tính BH
Tính CH
Tính AB
Tính AC

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của D xuống AB và AC. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
${(\frac{A B}{A C})}^{2} = \frac{D B}{D C}$
${(\frac{A B}{A C})}^{3} = \frac{B E}{C F}$
$A D^{3} = B C . E B . C F$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC, biết rằng đường cao $A H = \frac{6 \sqrt{13}}{13} c m, B C = \sqrt{13} c m$ .
Tính AB
Tính AC
Tính HB
Tính HC

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH=1cm, AC= $2 \sqrt{5} c m$
Tính BC
Tính AB
Tính AH

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, $r, r_{1}, r_{2}$ lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác vuông ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng
$r_{1} = r . \frac{c}{a}$ và $r_{2} = r . \frac{b}{a}$
${r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} = r^{2}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, tan C= $\frac{3}{4}$ và đường cao AH=12cm
Tính BH
Tính CH
Tính AB
Tính AC

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là hình chiếu của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu của D xuống AB và AC. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
${(\frac{A B}{A C})}^{2} = \frac{D B}{D C}$
${(\frac{A B}{A C})}^{3} = \frac{B E}{C F}$
$A D^{3} = B C . E B . C F$

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC, biết rằng đường cao $A H = \frac{6 \sqrt{13}}{13} c m, B C = \sqrt{13} c m$ .
Tính AB
Tính AC
Tính HB
Tính HC