Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB; AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (D $\in$ (O); E $\in$ (O’)). Gọi M là giao điểm của BD và CE. Tính diện tích tứ giác ADME biết $\widehat{DOA} = {60}^o$ và OA = 6cm

Đáp án A

Xét (O) có OD = OA $\Rightarrow$ $∆$OAD cân tại O $\Rightarrow \widehat{ODA}=\widehat{OAD}$

Xét (O’) có O’E = O’A $\Rightarrow$ $∆$O’EA cân tại O’ $\Rightarrow \widehat{O\text{'}EA}=\widehat{O\text{'}AE}$

Mà $\widehat{DOA}+\widehat{AO\text{'}E}= {360}^o-\widehat{O\text{'}ED}- \widehat{ODE}={180}^o$

$\iff {180}^o-\widehat{ODA}-\widehat{OAD}+ {180}^o-\widehat{O\text{'}EA}-\widehat{O\text{'}AE}= {180}^o$

$$\begin{gathered} \iff 2( \widehat{OAD}+\widehat{O\text{'}AE})={180}^o \\ \Rightarrow \widehat{OAD}+\widehat{O\text{'}AE} = {90}^o\Rightarrow \widehat{DAE}= {90}^o \end{gathered}$$

Mà $\widehat{BDA} = {90}^o$ (Vì tam giác BAD có cạnh AB là đường kính của (O) và D $\in$ (O)) nên BD $\perp$ AD $\Rightarrow \widehat{MDA}= {90}^o$. Tương tự ta có $\widehat{MEA} = {90}^o$.

Nên tứ giác DMEA là hình chữ nhật

Xét tam giác OAD cân tại O có $\widehat{DOA} = {60}^o$ nên $∆$DOA đều, suy ra OA = AD = 6cm và $\widehat{ODA} = {60}^o\Rightarrow \widehat{ADE}= {30}^o$

Xét tam giác ADE ta có:

$EA = AD.\tan \widehat{EDA}= 6.\tan {30}^o = 2\sqrt{3}$

$S_{DMEA} = AD.AE = 6. 2\sqrt{3}= 12\sqrt{3} c{m}^2$