Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB; AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (D $\in$ (O); E $\in$ (O’)). Gọi M là giao điểm của BD và CE. Tính diện tích tứ giác ADME biết $\widehat{DOA} = {60}^o$ và OA = 6cm

Đáp án C

Vì OH $\perp$ xy, nên H là một điểm cố định và OH không đổi

Gọi giao điểm của AB và OM là E; giao điểm của AB với OH là F

Vì (O; R) và đường tròn đường kính OM cắt nhau tại A; B nên AB $\perp$ OM

Lại có điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên $\widehat{OAM} = {90}^o$

Xét $∆$OEF và $∆$OHM có $\widehat{O}$ chung và $\widehat{OEF} = \widehat{OHM} = {90}^o$ nên $∆OEF \backsim ∆OHM$ (g – g)

Suy ra $\frac{OE}{OH}=\frac{OF}{OM}\Rightarrow OE.OM = OF.OH$

Xét $∆$MAO vuông tại A có AE là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $OM.OE = O{A}^2 = R^2\Rightarrow OF.OK = R^2\Rightarrow OF=\frac{R^2}{OH}$

Do OH không đổi nên OF cũng không đổi

Vậy F là một điểm cố định hay AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của AB và OH

Đáp án B

Xét (O) có OD = OA $\Rightarrow ∆$OAD cân tại O $\Rightarrow \widehat{ODA}=\widehat{OAD}$

Xét (O’) có O’E = O’E $\Rightarrow ∆$O’EB cân tại O’ $\Rightarrow \widehat{O\text{'}EA}=\widehat{O\text{'}AE}$

Mà $\widehat{O}+\widehat{O\text{'}}= {360}^o - \widehat{O\text{'}ED}- \widehat{ODE}= {180}^o$

$\iff {180}^o-\widehat{ODA}-\widehat{OAD}+ {180}^o-\widehat{O\text{'}EA}-\widehat{O\text{'}AE}={180}^o$

$$\begin{gathered} \iff 2(\widehat{OAD}+\widehat{O\text{'}AE} )={180}^o \\ \Rightarrow \widehat{OAD}+\widehat{O\text{'}AE}= {90}^o\Rightarrow \widehat{DAE}={90}^o \end{gathered}$$

$\Rightarrow ∆$ADE vuông tại A

Mà $\widehat{BDA} = {90}^o$ (vì tam giác BAD có cạnh AB là đường kính của (O) và D $\in$ (O) nên BD $\perp$ AD $\Rightarrow \widehat{MDA}= {90}^o$

Tương tự ta có $\widehat{MEA} = {90}^o$

Nên tứ giác DMEA là hình chữ nhật

Xét tam giác OAD cân tại O có $\widehat{DOA} = {60}^o$ nên $∆$DOA đều, suy ra OA = AD = 8cm và $\widehat{ODA} = {60}^o$

 $\Rightarrow \widehat{ADE} = {30}^o$. Xét tam giác ADE có $EA=AD. \tan \widehat{EDA}=8.\tan {30}^o=\frac{8}{3}\sqrt{3}$

$S_{DMEA} = AD. AE = 8.\frac{8}{3}\sqrt{3}=\frac{64}{3}\sqrt{3}c{m}^2$