Cho một hình trụ, một hình nón và một hình cầu có thể tích bằng nhau. Bán kính đáy của hình trụ, bán kính đáy của hình nón và bán kính hình của hình cầu đều bằng R. Tính các chiều cao h₁ của hình trụ và h₂ của hình nón theo R.

Đáp án cần chọn là: C.

Gọi h là chiều cao hình nón (h > 0). Đường sinh của hình nón bằng $l=\sqrt{h^2+4}$ 

Diện tích toàn phần của hình nón

$S_{tp}=\mathrm{\pi }.2.\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}+\mathrm{\pi }.2^2=\mathrm{\pi }\left(2\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}+4\right)\left({\mathrm{cm}}^2\right)$

Vì chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu nên bán kính hình cầu là $\frac{h}{2}$ (cm)

Diện tích mặt cầu là $S=4\mathrm{\pi }.{\left(\frac{\mathrm{h}}{2}\right)}^2={\mathrm{\pi h}}^2$.

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{\pi }\left(2\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}+4\right)={\mathrm{\pi h}}^2\iff 2\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}+4={\mathrm{h}}^2\iff 2\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}={\mathrm{h}}^2-4\left(\mathrm{h}>2\right) \\ \Rightarrow 4\left({\mathrm{h}}^2+4\right)={\mathrm{h}}^4-8{\mathrm{h}}^2+16\iff {\mathrm{h}}^4-12{\mathrm{h}}^2=0\iff \begin{array}{rcl}{\mathrm{h}}^2& =& 0\\ {\mathrm{h}}^2& =& 12\end{array}\iff \begin{array}{rcl}\mathrm{h}& =& 0\left(\mathrm{L}\right)\\ \mathrm{h}& =& -2\sqrt{3}\left(\mathrm{L}\right)\\ \mathrm{h}& =& 2\sqrt{3}\left(\mathrm{N}\right)\end{array} \end{gathered}$$

Vậy chiều cao hình nón là $2\sqrt{3}$cm.

Đáp án cần chọn là: D

Bán kính hình cầu là r = 20 : 2 = 10cm

Vì hình cầu nội tiếp hình trụ nên bán kính hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ và đường kính hình cầu bằng chiều cao hình trụ

Do đó hình trụ có bán kính đáy là r = 10cm và chiều cao là h = 2r = 20cm

Thể tích hình trụ là $V={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}=\mathrm{\pi }.{10}^2.20=2000\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^3\right)$.