Một hình cầu được đặt khít bên trong một hình trụ, biết đường kính hình cầu là 20cm. Tính thể tích hình trụ.

Đáp án cần chọn là: C.

Gọi h là chiều cao hình nón (h > 0). Đường sinh của hình nón bằng $l=\sqrt{h^2+4}$ 

Diện tích toàn phần của hình nón

$S_{tp}=\mathrm{\pi }.2.\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}+\mathrm{\pi }.2^2=\mathrm{\pi }\left(2\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}+4\right)\left({\mathrm{cm}}^2\right)$

Vì chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu nên bán kính hình cầu là $\frac{h}{2}$ (cm)

Diện tích mặt cầu là $S=4\mathrm{\pi }.{\left(\frac{\mathrm{h}}{2}\right)}^2={\mathrm{\pi h}}^2$.

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{\pi }\left(2\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}+4\right)={\mathrm{\pi h}}^2\iff 2\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}+4={\mathrm{h}}^2\iff 2\sqrt{{\mathrm{h}}^2+4}={\mathrm{h}}^2-4\left(\mathrm{h}>2\right) \\ \Rightarrow 4\left({\mathrm{h}}^2+4\right)={\mathrm{h}}^4-8{\mathrm{h}}^2+16\iff {\mathrm{h}}^4-12{\mathrm{h}}^2=0\iff \begin{array}{rcl}{\mathrm{h}}^2& =& 0\\ {\mathrm{h}}^2& =& 12\end{array}\iff \begin{array}{rcl}\mathrm{h}& =& 0\left(\mathrm{L}\right)\\ \mathrm{h}& =& -2\sqrt{3}\left(\mathrm{L}\right)\\ \mathrm{h}& =& 2\sqrt{3}\left(\mathrm{N}\right)\end{array} \end{gathered}$$

Vậy chiều cao hình nón là $2\sqrt{3}$cm.

Đáp án cần chọn là: C.

Xét tam giác vuông ABD ta có BD = $\sqrt{A{D}^2-A{B}^2}=\sqrt{7,5^2-4,5^2}$ = 6 (cm)

Kẻ CH $\perp$ BD tại H. Khi đó ACHB là hình vuông nên

CH = AB = AC = BH = 4,5cm $\Rightarrow$ HD = 6 – 4,5 = 1,5cm

Xét tam giác vuông CHD ta có CD² = CH² + HD² = 4,5² + 1,5² = 22,5

$\Rightarrow$CD = $\frac{3\sqrt{10}}{2}$

Khi quay hình thang vuông ABDC quanh cạnh AB ta được hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ AC, bán kính đáy lớn BD, đường sinh CD và chiều cao AB

Khi đó diện tích xung quanh hình nón cụt là

$S_{xq}=\mathrm{\pi }\left(\mathrm{R}+\mathrm{r}\right)\mathrm{l}=\mathrm{\pi }\left(4,5+7,5\right)\frac{3\sqrt{10}}{2}=18\mathrm{\pi }\sqrt{10}\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.