Đồ thị hàm số $y=\frac{x-3}{x^2+x-2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

TXĐ:  $D=\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(2;+\infty \right)$

Ta có:$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4}}=0$

$\underset{x\to -{\left(2\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4}}=-\infty$

Suy ra x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4}}=1$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4}}=-1$

Suy ra y = 1, y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: C

Hàm số có dạng $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ với  $f\left(x\right)=5x+1-\sqrt{x+1};g\left(x\right)=x^2-2x$

• Do bậc của $f\left(x\right)$ nhỏ hơn bậc của $g\left(x\right)$ $\Rightarrow TCN:y=0$
• Do: $g\left(x\right)=0\iff x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=0\end{array}\right.$ và  $f\left(2\right)\ne 0\Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\infty \Rightarrow TCD:x=2$
• Do $f\left(0\right)=0$ nên kiểm tra:$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(5x+1\right)}^2-\left(x+1\right)}{x\left(x-2\right)\left(5x+1+\sqrt{x+1}\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{25x+9}{\left(x-2\right)\left(5x+1+\sqrt{x+1}\right)}=-\frac{9}{4}\ne \infty$

Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là y = 0 và x = 2.

Đáp án cần chọn là: D