Cho tam giác ABC có $\widehat{C}>\widehat{B}(\widehat{B},\widehat{C}$ là các góc nhọn). Vẽ phân giác AD. So sanh BD và CD

Đáp án C

Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt BC tại H

Xét hai tam giác vuông ABD và HBD có:

BD cạnh chung

$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}={90}^o$

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (vì BD là phân giác của $\widehat{ABC}$)

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta HBD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AD=HD$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có $\widehat{D_1}$ là góc ngoài đỉnh D của $\Delta HBD$ nên ta có:

$\widehat{D_1}=\widehat{B_2}+\widehat{DCH}\Rightarrow \widehat{D_1}>\widehat{B_2}$

Mà $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (vì BD là phân giác của $\widehat{ABC}$) nên $\widehat{D_1}>\widehat{B_1}$ suy ra $AB>AD$

Xét $\Delta DHC$ có $\widehat{DHC}={90}^o$ nên $DC>HD$

Mặt khác $AD=HD$ (cmt) nên $DC>AD$

Đáp án D

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$AB=AC$ (gt)

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (tính chất tam giác cân)

$BD=EC\left(gt\right)$

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE(c.g.c)\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{EAC}$ (hai góc tương ứng)

Trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho AD = DF

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta FDB$ có:

$\begin{array}{l}AD=DF\left(gt\right)\\ BD=DE\left(gt\right)\end{array}$

$\widehat{ADE}=\widehat{BDF}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ADE=\Delta FDB(c.g.c)\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\widehat{DAE}=\widehat{BFD}\\ AE=BF\end{array}\right.$

Ta có: $\widehat{AEC}>\widehat{B}=\widehat{C}$ nên trong $\Delta AEC$ suy ra AC > AE (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác )

Mà $\left\{\begin{array}{l}AB=AC\left(gt\right)\\ BF=AE\left(cmt\right)\end{array}\right.\Rightarrow BF<AB$

Xét $\Delta ABF$ có $BF<AB$ (cmt) suy ra $\widehat{BFA}>\widehat{FAB}$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác )

Vậy $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}<\widehat{DAE}$ nên B,C đúng

Vậy cả A,B,C đều đúng