Cho $\Delta ABC$ vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E (D,E không trùng với các đỉnh của $\Delta ABC$). Chọn đáp án đúng nhất

Đáp án A

$\Delta ABM$ vuông tại A (gt) nên BA < BM (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Mà $BM=BD+DM\Rightarrow BA<BD+DM$  (1)

Mặt khác, $BE=BE-ME\Rightarrow BA<BE-ME$  (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: $2AB<BD+BE+MD-ME$ (3)

Vì M là trung điểm của AC(gt) $\Rightarrow AM=MC$ (tính chất trung điểm)

Xét tam giác vuông ADM và tam giác vuông CEM có

AM = MC (cmt)

$\widehat{ADM}=\widehat{EMC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ADM=\Delta CEM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow MD=ME$ (hai cạnh tương ứng)   (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow BD+BE>2AB$

Đáp án D

Kẻ tia phân giác Ot của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOt}=\widehat{yOt}=\frac{\widehat{xOy}}{2}=\frac{{60}^o}{2}={30}^o$

Gọi I là giao của Ot và AB; H,K lần lần lượt là hình chiếu của A, B trên tia Ot

Xét $\Delta OAH$ có $\widehat{AOH}={30}^o$ nên $OA=2AH$.

Vì AH, AI lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ A đến Ot nên $AH\le AI$ do đó $OA\le 2AI$ (1)

Xét $\Delta OBK$ có $\widehat{BOK}={30}^o$ nên $OB=2BK$.

Vì BK, BI lần lượt là đường vuông góc, đường xiêm kẻ từ B đến Ot nên $BK\le BI$ do đó $OB\le 2BI$

Từ (1) và (2) theo vế với vế ta được: $OA+OB\le 2AI+2BI=2(AI+BI)=2AB$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi H,I,K  trùng nhau hay $AB\perp Ot$ nên $\widehat{AIO}=\widehat{BIO}={90}^o$

Xét $\Delta OAI$ và $\Delta OBI$ có :

$\widehat{AIO}=\widehat{BIO}={90}^o$

OI cạnh chung

$\widehat{AOI}=\widehat{BOI}$ (vì Ot là tia phân giác của $\widehat{xOy}$)

$\Rightarrow \Delta OAI=\Delta OBI(g.c.g)$

$\Rightarrow OA=OB$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy $OA+OB=2AB$ hay $OA=OB$