Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến BM. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại D. Vẽ điểm E sao cho M là trung điểm của DE. Phát biểu nào dưới đây là đúng

Đáp án D

Vì $\Delta ABC$ có các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I nên $IA=IB=IC$ (tính chất ba đường trung trực của tam giác )

Xét $\Delta IAB$ có: $IA=IB\left(cmt\right)\Rightarrow \Delta IAB$ cân tại I (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{IBA}$ (tính chất tam giác cân)

Xét $\Delta IAC$ có $IA=IC\left(cmt\right)\Rightarrow \Delta IAC$ cân tại I (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{IAC}=\widehat{ICA}$ (tính chất tam giác cân)

Trong $\Delta IAB$ có: $\widehat{BIA}+\widehat{IAB}+\widehat{IBA}={180}^o$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà $\widehat{IAB}=\widehat{IBA}$ (cmt) nên suy ra $\widehat{BIA}={180}^o-(\widehat{IAB}+\widehat{IBA})={180}^o-2\widehat{IAB}$

Trong $\Delta IAC$ có $\widehat{CIA}+\widehat{IAC}+\widehat{ICA}={180}^o$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Mà $\widehat{IAC}=\widehat{ICA}$ (cmt) suy ra:

$\widehat{CIA}={180}^o-(\widehat{IAC}+\widehat{ICA})={180}^o-2\widehat{IAC}$

Khi đó

$\begin{array}{l}\widehat{BIC}=\widehat{BIA}+\widehat{AIC}={180}^o-2\widehat{IAB}+{180}^o-2\widehat{IAC}\\ ={360}^o-2(\widehat{IAB}+\widehat{IAC})={360}^o-2.\widehat{BAC}={360}^o-{2.140}^o={80}^o\end{array}$

Đáp án A

Vì E thuộc đường trung trực của AB nên $EA=EB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $\Delta ABE$ cân tại E (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{B}$ (tính chất tam giác cân)

Vì F thuộc đường trung trực của AC nên $FA=FC$ tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $\Delta AFC$ cân tại F(dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\widehat{A_3}=\widehat{C}$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\widehat{A_1}+\widehat{A_3}=\widehat{B}+\widehat{C}$

Xét $\Delta ABC$ có : $\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{BAC}={180}^o-{100}^o={80}^o$ hay $\widehat{A_1}+\widehat{A_3}={80}^o$

Lại có :

$\begin{array}{l}\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}=\widehat{BAC}\\ \Rightarrow \widehat{A_2}=\widehat{BAC}-(\widehat{A_1}+\widehat{A_3})={100}^o-{80}^o={20}^o\end{array}$