Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{4}{3} \sin^{3} 2 x + 2 \cos^{2} 2 x - (m^{2} + 3 m) \sin 2 x - 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4}) .$

$A . m \leq \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2}$ hoặc $m \geq \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2} .$

$B . m \leq - 3$ hoặc $m \geq 0.$

$C . - 3 \leq m \leq 0.$

$D . \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \leq m \leq \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D.

Ta có $y = \frac{4}{3} \sin^{3} 2 x + 2 \cos^{2} 2 x - (m^{2} + 3 m) \sin 2 x - 1$ hay $y = \frac{4}{3} \sin^{3} 2 x - 2 \sin^{2} 2 x - (m^{2} + 3 m) \sin 2 x + 1$ do vậy $y' = 2 [4 \sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x - (m^{2} + 3 m)] \cos 2 x .$

Với $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$ ta có cos2x>0 vì vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$ khi và chỉ khi $y' \geq 0, \forall x \in (0; \frac{π}{4}) \Leftrightarrow 4 \sin^{2} 2 x - 4 \sin 2 x - (m^{2} + 3 m) \geq 0, \forall x \in (0; \frac{π}{4}) .$

Đặt t=sin2x với $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$ ta được $t \in (0; 1)$ do vậy ta có bất phương trình $4 t^{2} - 4 t - (m^{2} + 3 m) \geq 0, \forall t \in (0; 1) \Leftrightarrow 4 t^{2} - 4 t \geq m^{2} + 3 m, \forall t \in (0; 1) .$

Xét hàm số $g (t) = 4 t^{2} - 4 t$ ta có bảng biến thiên như sau

Qua bảng ta cần có $m^{2} + 3 m \leq 1 \Leftrightarrow m^{2} + 3 m - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \leq m \leq \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x - 1} \geq 128$ là?

$A . [6; + \infty) .$

$B . [8; + \infty) .$

$C . (- \infty; 8] .$

$D . (- \infty; - 6] .$

Lời giải

Chọn D.

${(\frac{1}{2})}^{x - 1} \geq 128 \Leftrightarrow x - 1 \leq - 7 \Leftrightarrow x \leq 6.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- \infty; - 6] .$

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 - a x}{b x - c} (a, b, c \in ℝ, b \neq 0)$ có bảng biến thiên như sau:
Trong các số a,b,c có bao nhiêu số âm?

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Lời giải

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty);$ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=3

* $y' = {(\frac{2 - a x}{b x - c})}^{'} = \frac{(2 - a x)' (b x - c) - (2 - a x) (b x - c)'}{{(b x - c)}^{2}} = \frac{- a b x + a c + a b x - 2 b}{{(b x - c)}^{2}} = \frac{a c - 2 b}{{(b x - c)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty) \Leftrightarrow y' > 0 \Leftrightarrow a c - 2 b > 0 \Leftrightarrow a c > 2 b (1)$

* Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1 \Leftrightarrow b .1 - c = 0 \Leftrightarrow b = c (2)$

* Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $y = 3 \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{2 - a x}{b x - c} = 3 \Leftrightarrow - \frac{a}{b} = 3 \Leftrightarrow a = - 3 b (3)$