Biết rằng đồ thị hàm số $y=(x-1)(x+1)(x^2-7)-m$  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để $\frac{1}{1-x_1}+\frac{1}{1-x_2}+\frac{1}{1-x_3}+\frac{1}{1-x_4}>1$ ?

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Đặt ẩn phụ $t=x^2\ge 0$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.

- Để phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình bậc hai ẩn t phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.

- Giả sử phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm dương phân biệt $t_1,t_2$, suy ra 4 nghiệm x, thay vào giả thiết, sau đó áp dụng định lí Vi-ét và giải bất phương trình.

Giải chi tiết:

Ta có: $y=(x-1)(x+1)(x^2-7)-m$

$y=(x^2-1)(x^2-7)-m$

$y=x^4-8x^2+7-m$

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^4-8x^2+7-m=0(*)$.

Đặt $t=x^2(t\ge 0)$, phương trình đã cho trở thành: $t^2-8t+7-m=0(**)$.

Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn ycbt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=16-7+m>0\\ 8>0\left(luondung\right)\\ 7-m>0\\ m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-9<m<7\\ m\ne 0\end{array}$

Khi đó giả sử phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt $t_1;t_2$ thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt $x_1=-\sqrt{t_1};x_2=\sqrt{t_1}$; $x_3=-\sqrt{t_2};x_4=\sqrt{t_2}$.

Theo bài ra ta có:

$\frac{1}{1-x_1}+\frac{1}{1-x_2}+\frac{1}{1-x_3}+\frac{1}{1-x_4}>1$

$\iff \frac{1}{1+\sqrt{t_1}}+\frac{1}{1-\sqrt{t_1}}+\frac{1}{1+\sqrt{t_2}}+\frac{1}{1-\sqrt{t_2}}>1$

$\iff \frac{1-\sqrt{t_1}+1+\sqrt{t_1}}{1-t_1}+\frac{1-\sqrt{t_2}+1+\sqrt{t_2}}{1-t_2}>1$

$\iff \frac{2}{1-t_1}+\frac{2}{1-t_2}>1$

$\iff \frac{2(1-t_2+1-t_1)-(1-t_1-t_2+t_1{t}_2)}{1-t_1-t_2+t_{1}t}>0$ $\iff \frac{3-(t_1+t_2)-t_1{t}_2}{t_1{t}_2-(t_1+t_2)+1}>0$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=8\\ t_1{t}_2=7-m\end{array}$.

$\Rightarrow \frac{3-8-7+m}{7-m-8+1}>0\iff \frac{m-13}{-m}>0\iff 0<m<13$

Kết hợp điều kiện ta có $0<m<7$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{1;2;3;4;5;6\}$.

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.