Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\stackrel{⏜}{BCD}={120}^{\circ }$ và  AA' = $\frac{7a}{2}$. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 1, AD = 2, cạnh bên SA =1 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của AD. Tính diện tích $S_{mc}$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, SH = HC, SA = AB. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Tính giá trị của $\tan \alpha$.

Cho hình chữ nhật  ABCD có AB= 2AD = 2. Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là $V_1, V_2$. Hệ thức nào sau đây là đúng?

Trong không gian cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = 2a. Tính độ dài đường sinh  l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC.

Cho $∆$ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Quay tam giác quanh AB ta được hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh $S_1$ và quay tam giác quanh AC ta thu được hình nón xoay có diện tích xung quanh $S_2$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng $a^3$. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Một công ty Container cần thiết kết các thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy hình vuông, thể tích là $108m^3$. Tìm tổng diện tích nhỏ nhất của các mặt xung quanh và mặt đáy