Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng a. Gọi AB và CD là hai đường kính tương ứng của hai đáy. Biết góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng ${30}^0$. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Gọi N là trung điểm của CC’ $\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác BCC’.

\[ \Rightarrow MN//BC' \Rightarrow BC'//\left( {AMN} \right) \supset AM\].

Khi đó ta có $d(AM;B{C}^{\text{'}})=d(B{C}^{\text{'}};\left(AMN\right))=d(B;\left(AMN\right))$.

Ta có: $BC\cap \left(AMN\right)=M\Rightarrow \frac{d(B;\left(AMN\right))}{d(C;\left(AMN\right))}=\frac{BM}{CM}=1$$\Rightarrow d(B;\left(AMN\right))=d(C;\left(AMN\right))$.

Trong (BCC’B’) kẻ $CH\perp MN(H\in MN)$ ta có:

$\{\begin{array}{l}AM\perp CM\\ AM\perp CN\end{array}\Rightarrow AM\perp \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\Rightarrow AM\perp CH$

$\{\begin{array}{l}CH\perp AM\\ CH\perp MN\end{array}\Rightarrow CH\perp \left(AMN\right)\Rightarrow d(C;\left(AMN\right))=CH$

$\Rightarrow d(AM;B{C}^{\text{'}})=CH$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CMN có: $CH=\frac{CM.CN}{\sqrt{C{M}^2+C{N}^2}}=\frac{\frac{a}{2}.\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Vậy $d(AM;B{C}^{\text{'}})=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Đáp án D.

Ta có:

$a+\frac{b+{\log }_{2}5}{c+{\log }_{2}3}={\log }_{6}45\iff a+\frac{b+{\log }_{2}5}{c+{\log }_{2}3}=\frac{{\log }_{2}45}{{\log }_{2}6}$

$\iff a+\frac{b+{\log }_{2}5}{c+{\log }_{2}3}=\frac{{\log }_2\left(3^2.5\right)}{{\log }_2\left(2.3\right)}\iff a+\frac{b+{\log }_{2}5}{c+{\log }_{2}3}=\frac{2{\log }_{2}3+{\log }_{2}5}{1+{\log }_{2}3}$

$\iff a+\frac{b+{\log }_{2}5}{c+{\log }_{2}3}=\frac{2+2{\log }_{2}3-2+{\log }_{2}5}{1+{\log }_{2}3}\iff a+\frac{b+{\log }_{2}5}{c+{\log }_{2}3}=2+\frac{-2+{\log }_{2}5}{1+{\log }_{2}3}$

Đồng nhất hệ số ta có $a=\mathrm{2,}b=-\mathrm{2,}c=1.$

Vậy  $a+b+c=2+(-2)+1=1.$

Đáp án A.