Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;-3)$. Hình chiếu của M tương ứng lên $Ox,Oy,Oz,\left(Oyz\right),\left(Ozx\right),\left(Oxy\right)$là $A,B,C,D,E,F$. Gọi P và Q tương ứng là giao điểm của đường thẳng OM với các mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(DEF\right)$. Độ dài PQ bằng:

Theo bài ra ta có:

A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;-3), D(0;2;-3), E(1;0;-3), F(1;2;0).

Gọi P và Q tương ứng là giao điểm của đường thẳng OM với các mặt phẳng (ABC) và (DEF). Độ dài PQ bằng:

+ Ta có: $\overrightarrow{OM}=(1;2;-3)$ là 1 VTCP của đường thẳng OM, nên phương trình đường thẳng OM là $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=-3t\end{array}$.

+ Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-3}=1\iff 6x+3y-2z-6=0$.

Gọi $OM\cap \left(ABC\right)=P(p;2p;-3p)$ , ta có $P\in \left(ABC\right)$ nên:

$6p+3.2p-2.(-3p)-6=0\iff p=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow P(\frac{1}{3};\frac{2}{3};-1)$.

+ Ta có: $\overrightarrow{DE}=(1;-2;0);\overrightarrow{DF}=(1;0;3)$$\Rightarrow [\overrightarrow{DE};\overrightarrow{DF}]=(-6;-3;2)$ là 1 VTPT của (DEF).

⇒ Phương trình mặt phẳng (DEF) là: $-6x-3(y-2)+2(z+3)=0\iff -6x-3y+2z+12=0$.

Gọi $OM\cap \left(DEF\right)=Q(q;2q;-3q)$ , ta có $Q\in \left(DEF\right)$ nên:

\[ - 6q - 3.2q + 2\left( { - 3q} \right) + 12 = 0 \Leftrightarrow q = \frac{2}{3}\]

$\Rightarrow Q(\frac{2}{3};\frac{4}{3};-2)$.

Vậy $PQ=\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{(-1)}^2}=\frac{\sqrt{14}}{3}$.

Đáp án D.