Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên $\left(0;+\infty \right)\backslash \left\{e\right\}$ , thỏa mãn $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x\left(\ln x-1\right)}$ , $f\left(\frac{1}{e^2}\right)=\ln 6$  và $f\left(e^2\right)=3$ . Giá trị biểu thức $f\left(\frac{1}{e}\right)+f\left(e^3\right)$  bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left(2;-6;3\right)$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2-2t\\ z=t\end{array}\right.$ . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên d là

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa AC và BM là

Trong không gian Oxyz, cho điểm $E\left(2;1;3\right)$ , mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z-3=0$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng $\left(P\right)$  và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta$ là

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA\perp \left(ABCD\right)$ . ABCD là hình thang vuông tại A và B biết $AB=2a;AD=3BC=3a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo a biết góc giữa mặt phẳng $\left(SCD\right)$  và $\left(ABCD\right)$  bằng $60°$ .

Tìm tập xác định D của hàm số $y=e^{x^2+2x}$

Kết quả của giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-3}{\sqrt{x^2+1}-x}$  là

Trong không gian tọa độ Oxyz, độ dài của véctơ $\overrightarrow{u}=(1;2;2)$  là