Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên $\left(0;+\infty \right)\backslash \left\{e\right\}$ , thỏa mãn $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x\left(\ln x-1\right)}$ , $f\left(\frac{1}{e^2}\right)=\ln 6$  và $f\left(e^2\right)=3$ . Giá trị biểu thức $f\left(\frac{1}{e}\right)+f\left(e^3\right)$  bằng

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.

Suy ra $H\in d$  nên $H\left(1+3t;-2-2t;t\right)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left(3t-1;4-2t;t-3\right)$  .

Đường thẳng d có một VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(3;-2;1\right)$  .

Ta có $MH\perp d$  nên $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}=0\iff 3\left(3t-1\right)-2\left(4-2t\right)+\left(t-3\right)=0\iff t=1\Rightarrow H\left(4;-4;1\right)$ .

Đáp án C

$\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$, có tâm $I\left(3;2;5\right)$ và $R=6$

Ta có: $\overrightarrow{EI}=\left(1;1;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{\left|EI\right|}=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}<6=R$  .

Do đó điểm E nằm trong mặt cầu $\left(S\right)$ .

Vì $E\in \left(P\right)$  và $\left\{\begin{array}{l}E\in \Delta \\ \Delta \subset \left(P\right)\end{array}\right.$  nên giao điểm của $\left(\Delta \right)$  và $\left(S\right)$  nằm trên đường tròn giao tuyến $\left(C\right)$  tâm K của mặt phẳng $\left(P\right)$  và mặt cầu $\left(S\right)$ , trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $\left(P\right)$ . Gọi $\Delta \cap \left(S\right)=\left\{A;B\right\}$ . Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left(K,\Delta \right)$  lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên $\left(\Delta \right)$  khi đó $d\left(K;\Delta \right)=KF\le KE$ . Dấu $"="$  xảy ra khi và chỉ khi $F\equiv E$ .

Vì $\left\{\begin{array}{l}IK\perp \left(P\right)\\ KE\perp \Delta \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IK\perp \Delta \\ KE\perp \Delta \end{array}\right.\Rightarrow IE\perp \Delta$ .

Mặt khác:$\left[{\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)},\overrightarrow{EI}\right]=\left(5;-5;0\right)$ , cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$ .

Vì $\left\{\begin{array}{l}\Delta \subset \left(P\right)\\ \Delta \perp IE\end{array}\right.$  nên $\Delta$  có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$ . Vậy $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}\right.$  .